Matriz inversa y ecuación matricial con cuadrados

Para que exista $A^{-1}$ necesitamos $\det(A)\neq 0$. Con $$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix},$$ calculamos el determinante (por ejemplo, desarrollando por la primera fila): $$\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$ Ahora: - $\det\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot(-1)=0$. - $\det\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot 1=-2$. Sustituyendo: $$\det(A)=1\cdot 0-2\cdot(-2)+1\cdot(-2)=4-2=2.$$ Como $\det(A)=2\neq 0$, **$A$ es invertible** y existe $A^-1$. 💡 **Tip:** Si el determinante sale distinto de 0, el apartado (a) se puede hacer con Gauss-Jordan con total seguridad.

Montamos la matriz ampliada $[A\,|\,I]$ y hacemos operaciones elementales por filas hasta obtener $[I\,|\,A^{-1}]$. $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&2&1&1&0&0\\ 1&1&1&0&1&0\\ 1&-1&-1&0&0&1 \end{array}\right) $$ 1) $F_2\leftarrow F_2-F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$: $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&2&1&1&0&0\\ 0&-1&0&-1&1&0\\ 0&-3&-2&-1&0&1 \end{array}\right) $$ 2) $F_2\leftarrow -F_2$: $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&2&1&1&0&0\\ 0&1&0&1&-1&0\\ 0&-3&-2&-1&0&1 \end{array}\right) $$ 3) Anulamos la columna 2 arriba y abajo: $F_1\leftarrow F_1-2F_2$, $F_3\leftarrow F_3+3F_2$: $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&-1&2&0\\ 0&1&0&1&-1&0\\ 0&0&-2&2&-3&1 \end{array}\right) $$ 4) $F_3\leftarrow -\tfrac12 F_3$: $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&-1&2&0\\ 0&1&0&1&-1&0\\ 0&0&1&-1&\tfrac{3}{2}&-\tfrac{1}{2} \end{array}\right) $$ 5) Anulamos la columna 3 en $F_1$: $F_1\leftarrow F_1-F_3$: $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&0&\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}\\ 0&1&0&1&-1&0\\ 0&0&1&-1&\tfrac{3}{2}&-\tfrac{1}{2} \end{array}\right) $$ Ya tenemos la identidad a la izquierda, así que a la derecha está $A^-1$: $$\boxed{A^-1=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En Gauss-Jordan, el objetivo es convertir el bloque izquierdo en $I$; las mismas operaciones transforman $I$ en $A^-1$.

Partimos de: $$AX+(A-X)^2=X^2+I.$$ Expandimos el cuadrado: $$(A-X)^2=(A-X)(A-X)=A^2-AX-XA+X^2.$$ Sustituimos en la ecuación: $$AX+\big(A^2-AX-XA+X^2\big)=X^2+I.$$ Simplificamos: - $AX-AX=0$. Queda: $$A^2-XA+X^2=X^2+I.$$ Restamos $X^2$ en ambos lados: $$A^2-XA=I\quad\Longrightarrow\quad XA=A^2-I.$$ ✅ Hemos reducido el problema a una ecuación lineal matricial. 💡 **Tip:** Cuando aparecen potencias de $X$ en ambos lados, intenta expandir y **cancelar** para que la ecuación sea resoluble con inversas.

Como $\det(A)=2\neq 0$, existe $A^-1$ y podemos despejar multiplicando a la derecha por $A^-1$: $$XA=A^2-I\quad\Rightarrow\quad X=(A^2-I)A^-1.$$ 1) Calculamos $A^2$: $$A^2=\begin{pmatrix}4 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix}.$$ 2) Restamos la identidad: $$A^2-I=\begin{pmatrix}3 & 3 & 2\\ 3 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 0\end{pmatrix}.$$ 3) Multiplicamos por $A^-1$: $$X=(A^2-I)A^-1=\begin{pmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{1}{2}\end{pmatrix}.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{X=\begin{pmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{1}{2}\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Si quieres verificar, basta comprobar que $XA=A^2-I$ (es más corto que sustituir en la ecuación original).