Cortes y área entre $f(x)=1-x^2$ y $g(x)=2x^2$

**a) [1,25 puntos]** Los puntos de corte se obtienen resolviendo $$f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 1-x^2=2x^2.$$ Entonces $$1=3x^2\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.$$ Sustituimos en $g(x)=2x^2$: $$y=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$ ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{3}\right)\ \text{y}\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{3}\right)}.$$

Observa la forma de las curvas: - $f(x)=1-x^2$ es una parábola cóncava hacia abajo (vértice en $(0,1)$). - $g(x)=2x^2$ es una parábola cóncava hacia arriba (vértice en $(0,0)$). En el intervalo entre los puntos de corte, $$f(x)-g(x)=\bigl(1-x^2\bigr)-2x^2=1-3x^2.$$ Si $|x|\le \frac{1}{\sqrt{3}}$, entonces $1-3x^2\ge 0$, por lo que **$f$ queda por encima de $g$**. ✅ En el interactivo se muestran ambas parábolas y el recinto sombreado entre ellas.

**b) [1,25 puntos]** El área entre curvas en $[a,b]$ es $$A=\int_a^b \bigl(\text{curva superior}-\text{curva inferior}\bigr)\,dx.$$ Aquí: - $a=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ - $b=\frac{1}{\sqrt{3}}$ - superior: $f(x)=1-x^2$ - inferior: $g(x)=2x^2$ Por tanto $$A=\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\Bigl[(1-x^2)-2x^2\Bigr]dx=\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}(1-3x^2)\,dx.$$

La función $1-3x^2$ es **par**, así que $$A=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}(1-3x^2)\,dx.$$ Calculamos una primitiva: $$\int(1-3x^2)\,dx=x-x^3.$$ Evaluamos en $0$ y $\frac{1}{\sqrt{3}}$: $$A=2\left[\,x-x^3\,\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{(\sqrt{3})^3}\right).$$ Como $(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}$: $$A=2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=2\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}.$$ Si se prefiere sin raíz en el denominador: $$\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}.$$ ✅ **Área del recinto:** $$\boxed{A=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}}.$$