Primitiva de $e^x\,\sin(2x)$ con condición inicial

Buscamos una función $F$ tal que $F'(x)=f(x)=e^x\,\sin(2x)$. Es decir, debemos calcular $$F(x)=\int e^x\,\sin(2x)\,dx.$$ Una forma estándar es **integración por partes dos veces** (o usar la fórmula conocida para $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$). 💡 **Tip:** Si ves $e^{ax}$ multiplicando a $\sin(bx)$ o $\cos(bx)$, suele funcionar integrar por partes dos veces y luego despejar la integral inicial.

Sea $$I=\int e^x\,\sin(2x)\,dx.$$ Tomamos $u=\sin(2x)$ y $dv=e^x\,dx$. Entonces $$du=2\cos(2x)\,dx,\qquad v=e^x.$$ Por partes: $$I=uv-\int v\,du=e^x\sin(2x)-\int e^x\,2\cos(2x)\,dx.$$ Es decir, $$I=e^x\sin(2x)-2\int e^x\cos(2x)\,dx.$$

Llamemos $$J=\int e^x\cos(2x)\,dx.$$ Volvemos a integrar por partes con $u=\cos(2x)$ y $dv=e^x\,dx$: $$du=-2\sin(2x)\,dx,\qquad v=e^x.$$ Entonces $$J=uv-\int v\,du=e^x\cos(2x)-\int e^x(-2\sin(2x))\,dx=e^x\cos(2x)+2\int e^x\sin(2x)\,dx.$$ Pero $\int e^x\sin(2x)\,dx$ es precisamente $I$, así que $$J=e^x\cos(2x)+2I.$$

De la primera parte teníamos $$I=e^x\sin(2x)-2J.$$ Sustituimos $J=e^x\cos(2x)+2I$: $$I=e^x\sin(2x)-2\bigl(e^x\cos(2x)+2I\bigr)=e^x\sin(2x)-2e^x\cos(2x)-4I.$$ Pasamos $-4I$ al otro lado: $$5I=e^x\bigl(\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr).$$ Por tanto, $$I=\int e^x\sin(2x)\,dx=\frac{e^x}{5}\bigl(\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr)+C.$$ ✅ Una primitiva general es $$F(x)=\frac{e^x}{5}\bigl(\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr)+C.$$ 💡 **Tip:** Comprueba el resultado derivando: al aplicar la regla del producto a $e^x(\sin(2x)-2\cos(2x))$ debe aparecer un término proporcional a $\sin(2x)$ y otro a $\cos(2x)$, que se cancelan salvo $e^x\sin(2x)$.

La gráfica pasa por $(0,0)$, luego $$F(0)=0.$$ Calculamos: $$F(0)=\frac{e^0}{5}\bigl(\sin(0)-2\cos(0)\bigr)+C=\frac{1}{5}(0-2\cdot 1)+C=-\frac{2}{5}+C.$$ Imponiendo $F(0)=0$: $$-\frac{2}{5}+C=0\ \Rightarrow\ C=\frac{2}{5}.$$ ✅ **Primitiva pedida:** $$\boxed{F(x)=\frac{e^x}{5}\bigl(\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr)+\frac{2}{5}}.$$