Optimización de coste con restricción de área: recinto con tramos rectos y semicirculares

La figura es un “estadio”: dos tramos rectos horizontales de longitud $a$ y dos semicircunferencias laterales de diámetro $b$. El recinto **central rectangular** tiene base $a$ y altura $b$, y su área viene dada por $$A_{\text{rect}}=a\,b.$$ El enunciado impone $$a\,b=\frac{200}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{200}{\pi a},\qquad a>0.$$ 💡 **Tip:** Conviene expresar todo en función de una sola variable (aquí, $a$) usando la restricción.

Longitudes del contorno: - Tramos rectos: 2 tramos de longitud $a$ ⇒ longitud recta total $2a$. - Tramos curvos: 2 semicircunferencias equivalen a 1 circunferencia completa de diámetro $b$ ⇒ longitud curva $\pi b$. Coste: - Recto: $10\,€$/m ⇒ $10\cdot 2a=20a$. - Curvo: $20\,€$/m ⇒ $20\cdot(\pi b)=20\pi b$. Por tanto, $$C=20a+20\pi b.$$ Con la restricción $b=\dfrac{200}{\pi a}$: $$C(a)=20a+20\pi\cdot\frac{200}{\pi a}=20a+\frac{4000}{a},\qquad a>0.$$ 💡 **Tip:** Una vez escrita $C(a)$, el problema se reduce a un mínimo de una función de una variable.

Derivamos: $$C'(a)=20-\frac{4000}{a^2}.$$ Buscamos puntos críticos: $$C'(a)=0\Rightarrow 20=\frac{4000}{a^2}\Rightarrow a^2=200\Rightarrow a=10\sqrt{2}$$ (porque $a>0$). Comprobación de mínimo: $$C''(a)=\frac{8000}{a^3}>0\ (a>0)\Rightarrow\text{es mínimo}.$$ Calculamos $b$: $$b=\frac{200}{\pi a}=\frac{200}{\pi\cdot 10\sqrt{2}}=\frac{20}{\pi\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{\pi}.$$ El coste mínimo: $$C_{\min}=20a+\frac{4000}{a}=20\cdot 10\sqrt{2}+\frac{4000}{10\sqrt{2}}=200\sqrt{2}+200\sqrt{2}=400\sqrt{2}.$$ ✅ Dimensiones que minimizan el coste: $$\boxed{a=10\sqrt{2}\ \text{m},\qquad b=\frac{10\sqrt{2}}{\pi}\ \text{m}}$$ y $$\boxed{C_{\min}=400\sqrt{2}\ \text{€}.}$$ 💡 **Tip:** En mínimos del tipo $ka+\frac{c}{a}$, suele salir una raíz: el equilibrio entre “crece” y “decrece”.

Interactivo para mover $a$ (con la restricción $ab=\dfrac{200}{\pi}$), visualizar el contorno y ver el coste $C$.