Función a trozos continua: parámetros por extremo relativo y estudio de derivabilidad

Como $f$ es continua, debe cumplirse que el valor por la izquierda en $x=0$ coincide con el límite por la derecha. Tramo $x\le 0$: $$f(0)=\frac{0^2+1}{0-1}=-1.$$ Tramo $x>0$: $$\lim_{x\to 0^+}\frac{ax+b}{(x+1)^2}=\frac{b}{1}=b.$$ Igualando: $$b=-1.$$ 💡 **Tip:** En empalmes en $x=0$, suele bastar sustituir $x=0$ en cada tramo (si no hay indeterminación).

Como $2>0$, usamos $$f(x)=\frac{ax+b}{(x+1)^2}.$$ Derivamos. Con $N=ax+b$ y $D=(x+1)^2$: $$f'(x)=\frac{N'D-ND'}{D^2}=\frac{a(x+1)^2-(ax+b)\,2(x+1)}{(x+1)^4}.$$ Simplificando: $$f'(x)=\frac{-ax+a-2b}{(x+1)^3}.$$ Extremo relativo en $x=2$ ⇒ condición necesaria $f'(2)=0$: $$0=-2a+a-2b\quad\Rightarrow\quad -a-2b=0\quad\Rightarrow\quad a=-2b.$$ Como en el paso anterior obtuvimos $b=-1$: $$a=-2(-1)=2.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{a=2,\quad b=-1.}$$ 💡 **Tip:** Para imponer un extremo relativo en $x=c$ (con $c$ interior del tramo), usa $f'(c)=0$.

Con $a=2$ y $b=-1$: $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2+1}{x-1} & x\le 0\\ \dfrac{2x-1}{(x+1)^2} & x>0 \end{cases}$$ Cada tramo es derivable en su intervalo (los denominadores no se anulan allí). El único punto a comprobar es el empalme $x=0$. ### Derivada por la izquierda en $0$ $$f_1(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$$ $$f_1'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$$ $$f'_-(0)=f_1'(0)=\frac{-1}{1}=-1.$$ ### Derivada por la derecha en $0$ Para $x>0$, $f_2(x)=\dfrac{2x-1}{(x+1)^2}$. Usando la fórmula ya obtenida $$f_2'(x)=\frac{-ax+a-2b}{(x+1)^3}$$ con $a=2$, $b=-1$: $$f_2'(x)=\frac{-2x+4}{(x+1)^3}.$$ Entonces $$f'_+(0)=f_2'(0)=4.$$ Como $f'_-(0)\neq f'_+(0)$, $f$ **no es derivable** en $x=0$. ✅ Conclusión: $$\boxed{f\ \text{es derivable en }(-\infty,0)\cup(0,\infty)\ \text{y no es derivable en }x=0.}$$ 💡 **Tip:** Continuidad no implica derivabilidad: para derivabilidad en un empalme hay que igualar derivadas laterales.

Interactivo para visualizar $f$ con $a=2$ y $b=-1$, el punto de unión en $x=0$ y el punto en $x=2$ (donde $f'(2)=0$).