Geometría en el espacio 2022 Andalucia
Intersección plano-recta y simetría respecto de un plano
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Sean el plano $\pi\equiv x+y-z=2$ y la recta $r\equiv x=\dfrac{y}{3}=z-1$.
a) Calcula, si existe, el punto de intersección de $\pi$ y $r$. (0,75 puntos)
b) Dado el punto $Q(2,6,3)$, halla su simétrico respecto del plano $\pi$. (1,75 puntos)
Paso 1
Parametrizar la recta r
De $r\equiv x=\dfrac{y}{3}=z-1$, tomamos un parámetro $t$:
$$x=t,\qquad \frac{y}{3}=t\Rightarrow y=3t,\qquad z-1=t\Rightarrow z=t+1.$$
Así,
$$r:\ (x,y,z)=(t,3t,t+1).$$
💡 **Tip:** En una recta simétrica, iguala todo a un mismo parámetro y despeja cada coordenada.
Paso 2
Apartado a) Intersección de π y r
Sustituimos la parametrización de $r$ en el plano $\pi: x+y-z=2$:
$$t+3t-(t+1)=2.$$
Simplificamos:
$$3t-1=2\Rightarrow 3t=3\Rightarrow t=1.$$
Punto de intersección:
$$r(1)=(1,3,2).$$
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{\pi\cap r=\{(1,3,2)\}}.$$
🔎 **Mini-check:** $1+3-2=2$.
Paso 3
Apartado b) Simétrico de Q usando una recta auxiliar perpendicular al plano
Queremos el simétrico $Q'$ de $Q(2,6,3)$ respecto del plano $\pi: x+y-z=2$.
### 1) Recta auxiliar perpendicular al plano
Escribimos el plano como $x+y-z-2=0$, con normal
$$\vec n=(1,1,-1).$$
La **recta auxiliar** perpendicular al plano que pasa por $Q$ es:
$$\ell:(x,y,z)=(2,6,3)+t(1,1,-1).$$
### 2) Pie de la perpendicular $H=\ell\cap\pi$
En $\ell$ se tiene $x=2+t$, $y=6+t$, $z=3-t$.
Sustituimos en $x+y-z=2$:
$$(2+t)+(6+t)-(3-t)=2\Rightarrow 5+3t=2\Rightarrow t=-1.$$
Entonces el pie es:
$$H=(2-1,\ 6-1,\ 3-(-1))=(1,5,4).$$
### 3) Simétrico respecto del plano
El plano es mediatriz del segmento $QQ'$, así que $H$ es el **punto medio**:
$$H=\frac{Q+Q'}{2}\Rightarrow Q'=2H-Q.$$
Luego:
$$Q'=(2\cdot1-2,\ 2\cdot5-6,\ 2\cdot4-3)=(0,4,5).$$
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{Q'=(0,4,5).}$$
💡 **Tip:** El método más robusto: $\ell$ perpendicular al plano por $Q$ → $H=\ell\cap\pi$ → $Q'=2H-Q$.