Intersección de rectas y plano que contiene una recta

De $r\equiv x+1=y-a=-z$, tomamos un parámetro $t$: $$x+1=y-a=-z=t.$$ Entonces $$x=t-1,\quad y=t+a,\quad z=-t,$$ y por tanto $$r:\ (x,y,z)=(-1,a,0)+t\,(1,1,-1).$$ La recta $s$ ya viene parametrizada: $$s:\ (x,y,z)=(5,-3,2)+\lambda\,(2,0,-1).$$ 💡 **Tip:** Pasar a forma paramétrica facilita resolver intersecciones: solo hay que igualar coordenadas.

Para que se corten debe existir $(t,\lambda)$ tal que las coordenadas coincidan: \begin{align} t-1 &= 5+2\lambda,\\ t+a &= -3,\\ -t &= 2-\lambda. \end{align} De la 1ª ecuación: $t=6+2\lambda$. De la 3ª ecuación: $t=-2+\lambda$. Igualamos ambas expresiones de $t$: $$6+2\lambda=-2+\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=-8.$$ Sustituyendo, $t=-2+\lambda=-2-8=-10$. Con la 2ª ecuación: $t+a=-3$: $$-10+a=-3\ \Rightarrow\ a=7.$$ Punto de corte (usamos $s$ con $\lambda=-8$): $$x=5+2(-8)=-11,\quad y=-3,\quad z=2-(-8)=10.$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a=7}\qquad\text{y}\qquad\boxed{r\cap s=\{(-11,-3,10)\}}.$$ 🔎 **Mini-check:** si sustituyes $t=-10$ en $r$ obtienes el mismo punto.

Un plano que contiene a la recta $s$ debe contener: - un punto de $s$; - el vector director de $s$; - y además, para que pase por $P(8,-7,2)$, también debe contener el vector que une ese punto con un punto de $s$. Tomamos un punto de $s$ con $\lambda=0$: $$S_0=(5,-3,2).$$ Vector director de $s$: $$\vec v=(2,0,-1).$$ Otro vector del plano (de $S_0$ a $P$): $$\vec w=\overrightarrow{S_0P}=P-S_0=(8-5,-7-(-3),2-2)=(3,-4,0).$$ Un vector normal al plano es el producto vectorial: $$\vec n=\vec v\times\vec w=(2,0,-1)\times(3,-4,0)=(4,3,8).$$ Ecuación del plano por $S_0$ con normal $\vec n$: $$4(x-5)+3(y+3)+8(z-2)=0.$$ Simplificando: $$4x+3y+8z-27=0.$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{4x+3y+8z=27}.$$ 🧩 **Interacción sugerida (GeoGebra 3D):** introduce la recta $s$ y el plano $4x+3y+8z=27$ y comprueba que todos los puntos de $s$ satisfacen la ecuación del plano.