Determinantes: operaciones por filas/columnas y combinaciones lineales

Sea $$D=\left|\begin{matrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{matrix}\right|=-2.$$ Usaremos: - Intercambiar dos filas/columnas ⇒ el determinante cambia de signo. - Multiplicar una fila/columna por $k$ ⇒ el determinante se multiplica por $k$. - $\det(M^T)=\det(M)$. 💡 **Tip:** En determinantes “transformados”, busca siempre un factor global que multiplique a $D$.

Sea $$D_1=\left|\begin{matrix}a&c&b\\2x&2z&2y\\-3p&-3r&-3q\end{matrix}\right|.$$ Partimos de la matriz original y hacemos: 1) Intercambiar las **columnas 2 y 3** (de $b,c$ a $c,b$): factor $-1$. 2) Intercambiar las **filas 2 y 3**: factor $-1$. 3) Multiplicar la fila 2 por $2$: factor $\times 2$. 4) Multiplicar la fila 3 por $-3$: factor $\times(-3)$. El factor total es: $$(-1)\cdot(-1)\cdot2\cdot(-3)=-6.$$ Luego: $$D_1=-6D=-6\cdot(-2)=12.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left|\begin{matrix}a&c&b\\2x&2z&2y\\-3p&-3r&-3q\end{matrix}\right|=12.}$$ 💡 **Tip:** Controla el signo: un intercambio de columnas y uno de filas se compensan (dan $(-1)(-1)=+1$), pero el $-3$ vuelve a introducir un signo.

Sea $$D_2=\left|\begin{matrix}x& a-3p&-2a\\y& b-3q&-2b\\z& c-3r&-2c\end{matrix}\right|.$$ Considera la traspuesta de la matriz original: $$M^T=\begin{pmatrix}a&p&x\\b&q&y\\c&r&z\end{pmatrix}.$$ Sus columnas son: $$U_1=(a,b,c)^T,\quad U_2=(p,q,r)^T,\quad U_3=(x,y,z)^T.$$ Las columnas del determinante $D_2$ se escriben como: - Columna 1: $(x,y,z)^T=U_3$ - Columna 2: $(a-3p,\,b-3q,\,c-3r)^T=U_1-3U_2$ - Columna 3: $(-2a,-2b,-2c)^T=-2U_1$ Así, la matriz de $D_2$ es $M^T K$, donde $$K=\begin{pmatrix}0&1&-2\\0&-3&0\\1&0&0\end{pmatrix}$$ (porque sus columnas son $(0,0,1)^T$, $(1,-3,0)^T$, $(-2,0,0)^T$). Entonces: $$D_2=\det(M^T)\det(K)=D\det(K).$$ Calculamos: $$\det(K)=-6.$$ Por tanto: $$D_2=-6D=-6\cdot(-2)=12.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left|\begin{matrix}x& a-3p&-2a\\y& b-3q&-2b\\z& c-3r&-2c\end{matrix}\right|=12.}$$ 💡 **Tip:** Expresar columnas como combinaciones lineales y “sacarlas” con una matriz $K$ suele ahorrar mucho cálculo.