Álgebra 2022 Andalucia
Matrices: invertibilidad por determinante y ecuación $A\,X\,B=C$
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera las matrices
$$A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&a\\2&a&1\\2&2&0\end{pmatrix}\ \text{y}\ C=\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-1&-1\end{pmatrix}.$$
a) Determina los valores de $a$ para los que la matriz $B$ no tiene inversa. (0,5 puntos)
b) Para $a=1$ calcula $X$ tal que $A\,X\,B=C$, si es posible. (2 puntos)
Paso 1
a) Condición de no invertibilidad
Una matriz cuadrada no tiene inversa si y solo si su determinante es cero.
Calculamos:
$$\det(B)=\det\begin{pmatrix}1&1&a\\2&a&1\\2&2&0\end{pmatrix}.$$
Desarrollando por la tercera columna:
$$\det(B)=a\,\det\begin{pmatrix}2&a\\2&2\end{pmatrix}-1\,\det\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots).$$
Ahora,
$$\det\begin{pmatrix}2&a\\2&2\end{pmatrix}=4-2a,\qquad \det\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=2-2=0.$$
Luego:
$$\det(B)=a(4-2a)=-2a(a-2).$$
Por tanto:
$$\det(B)=0\iff a=0\ \text{o}\ a=2.$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{B\ \text{no tiene inversa para}\ a\in\{0,2\}.}$$
💡 **Tip:** En matrices con parámetros, suele bastar factorizar el determinante para leer los valores “problemáticos”.
Paso 2
b) Para $a=1$: despeje de $X$
Para $a=1$:
$$B_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&2&0\end{pmatrix}.$$
Comprobamos invertibilidad:
- $\det(A)=1\neq 0$ ⇒ $A$ es invertible.
- $\det(B_1)=-2\cdot 1\cdot(1-2)=2\neq 0$ ⇒ $B_1$ es invertible.
Entonces existe solución única y:
$$A\,X\,B_1=C\ \Rightarrow\ X=A^{-1}CB_1^{-1}.$$
💡 **Tip:** En ecuaciones del tipo $A X B=C$, se multiplica por $A^{-1}$ a la izquierda y por $B^{-1}$ a la derecha.
Paso 3
b) Inversas necesarias
### Inversa de $A$
$$A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$$
Como es triangular inferior con diagonal 1,
$$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}$$
(porque $\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=I_2$).
### Inversa de $B_1$
Aplicando Gauss a $(B_1\mid I_3)$ se obtiene:
$$\boxed{B_1^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&\tfrac12\\1&0&-\tfrac12\end{pmatrix}}.$$
💡 **Tip:** Si te cuesta calcular $B_1^{-1}$ completo, otra vía es resolver tres sistemas $B_1\,\mathbf{u}=\mathbf{e}_1,\ B_1\,\mathbf{v}=\mathbf{e}_2,\ B_1\,\mathbf{w}=\mathbf{e}_3$; las soluciones son las columnas de $B_1^{-1}$.
Paso 4
b) Cálculo de $X$ y verificación
Primero:
$$A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-2\\4&-1&-5\end{pmatrix}.$$
Después:
$$X=(A^{-1}C)B_1^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-2\\4&-1&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&\tfrac12\\1&0&-\tfrac12\end{pmatrix}.$$
Multiplicando:
$$\boxed{X=\begin{pmatrix}-3&1&1\\-10&5&2\end{pmatrix}}.$$
✅ **Comprobación rápida:**
$$A\,X\,B_1=C.$$
💡 **Tip:** La dimensión ayuda a detectar errores: $A$ es $2\times2$, $C$ es $2\times3$ y $B$ es $3\times3$, por tanto $X$ debe ser $2\times3$.