Intersección de funciones y área entre curvas en el primer cuadrante

**a) [1,25 puntos]** Igualamos $f(x)=g(x)$: $$x^3+2=-x^2+2x+2\;\Rightarrow\;x^3+x^2-2x=0.$$ Factorizamos: $$x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1).$$ Por tanto, las abscisas de corte son: $$x\in\{-2,0,1\}.$$ Calculamos las ordenadas con $f(x)=x^3+2$: - Si $x=-2$, $y=-8+2=-6$. - Si $x=0$, $y=2$. - Si $x=1$, $y=3$. ✅ Puntos de corte: $$\boxed{(-2,-6),\ (0,2),\ (1,3).}$$ 💡 **Tip:** Si al igualar aparece un factor $x$, ya sabes que $x=0$ es un punto de corte.

Para el esbozo: - $f(x)=x^3+2$ es una cúbica creciente (traslación vertical de $x^3$) y pasa por $(0,2)$. - $g(x)=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3$ es una parábola cóncava hacia abajo, con vértice en $(1,3)$. En el **primer cuadrante** (x≥0, y≥0) los cortes relevantes son $(0,2)$ y $(1,3)$. 💡 **Tip:** Escribir $g$ en forma de vértice $-(x-1)^2+3$ da el punto máximo de la parábola de un vistazo.

Este gráfico ayuda a ver que, entre $x=0$ y $x=1$, la parábola $g$ queda por encima de la cúbica $f$, formando un recinto cerrado en el primer cuadrante.

**b) [1,25 puntos]** En el primer cuadrante, el recinto está limitado por las curvas entre los puntos de corte $(0,2)$ y $(1,3)$, es decir, para $x\in[0,1]$. Comprobamos qué función va arriba (por ejemplo en $x=\tfrac12$): $$f\left(\tfrac12\right)=\tfrac18+2=\tfrac{17}{8},\qquad g\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+1+2=\tfrac{11}{4},$$ y como $\tfrac{11}{4}>\tfrac{17}{8}$, se tiene $g(x)\ge f(x)$ en ese tramo. Área: $$A=\int_{0}^{1}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\left((-x^2+2x+2)-(x^3+2)\right)dx=\int_{0}^{1}\left(-x^3-x^2+2x\right)dx.$$ Calculamos una primitiva: $$\int\left(-x^3-x^2+2x\right)dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2+C.$$ Aplicamos Barrow: $$A=\Bigl[-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2\Bigr]_{0}^{1}=\left(-\frac14-\frac13+1\right)-0=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A=\frac{5}{12}}.$$ 💡 **Tip:** Para áreas entre curvas, siempre usa “(función de arriba) − (función de abajo)” en el intervalo correcto.