Integral definida con cambio de variable en una raíz

Usamos el cambio $t=\sqrt{1+x}-1$. Entonces $\sqrt{1+x}=t+1$ y al elevar al cuadrado: $$1+x=(t+1)^2=t^2+2t+1\quad\Rightarrow\quad x=t^2+2t.$$ Derivando: $$dx=(2t+2)\,dt=2(t+1)\,dt.$$ Cambiamos los límites: - Si $x=3$, entonces $t=\sqrt{1+3}-1=2-1=1$. - Si $x=8$, entonces $t=\sqrt{1+8}-1=3-1=2$. 💡 **Tip:** En integrales definidas, cambia **también** los límites para no volver a $x$ al final.

Sustituimos en la integral: $$\int_{3}^{8}\frac{1}{\sqrt{1+x}-1}\,dx =\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,2(t+1)\,dt =\int_{1}^{2}\left(2+\frac{2}{t}\right)dt.$$ Integramos: $$\int\left(2+\frac{2}{t}\right)dt=2t+2\ln|t|+C.$$ Aplicamos Barrow: $$\int_{1}^{2}\left(2+\frac{2}{t}\right)dt=\Bigl[2t+2\ln|t|\Bigr]_{1}^{2} =(4+2\ln2)-(2+2\ln1).$$ Como $\ln1=0$: $$\boxed{\int_{3}^{8}\frac{1}{\sqrt{1+x}-1}\,dx=2+2\ln2=2(1+\ln2).}$$ 💡 **Tip:** Si no te sugieren un cambio de variable, aquí también funciona racionalizar: $$\frac{1}{\sqrt{1+x}-1}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{\sqrt{1+x}+1}{x}.$$