Rectángulo de área máxima bajo una parábola

La parábola $y=-x^2+12$ es simétrica respecto del eje $y$ y corta al eje $x$ en: $$-x^2+12=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{12}.$$ Si el rectángulo tiene su base sobre el eje $x$, el de área máxima será simétrico (centrado en el eje $y$). Tomamos $x\ge 0$ y consideramos los vértices: - Inferiores: $(-x,0)$ y $(x,0)$ - Superiores: $(-x,f(x))$ y $(x,f(x))$, donde $f(x)=-x^2+12$. Para que el rectángulo esté dentro del recinto, necesitamos $f(x)\ge 0$, es decir: $$0\le x\le \sqrt{12}.$$ Base $=2x$ y altura $=f(x)$, así que el área es: $$A(x)=2x\,f(x)=2x(-x^2+12)=-2x^3+24x.$$ 💡 **Tip:** En recintos simétricos, fijar $x\ge 0$ reduce el problema y evita duplicar cálculos.

Buscamos el máximo de $A(x)$ en el intervalo $[0,\sqrt{12}]$: $$A(x)=-2x^3+24x.$$ Derivamos: $$A'(x)=-6x^2+24.$$ Condición de extremo: $$-6x^2+24=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$$ (tomamos $x=2$ porque $x\ge 0$). Además, $A''(x)=-12x$, y $A''(2)=-24<0$, luego en $x=2$ hay **máximo**. Altura del rectángulo: $$f(2)=-2^2+12=8.$$ Dimensiones del rectángulo máximo: - Base $=2x=4$ - Altura $=8$ Área máxima: $$A_{\max}=4\cdot 8=32.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{A_{\max}=32}$$ 💡 **Tip:** En optimización, recuerda comprobar que el crítico está dentro del intervalo y que realmente es máximo (con $A''$ o cambio de signo).

Con $x=2$ y altura $8$, los vértices son: - Inferiores: $(-2,0)$ y $(2,0)$ - Superiores: $(-2,8)$ y $(2,8)$ ✅ Vértices: $$\boxed{(-2,0),\ (2,0),\ (2,8),\ (-2,8)}$$

Interactivo para visualizar la parábola, el recinto con el eje $x$ y el rectángulo (con deslizador $a$). Ajusta $a$ hasta ver el máximo en $a=2$.