Análisis 2022 Andalucia
Cálculo de un parámetro a a partir de un límite en infinito
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Calcula $a$ sabiendo que
$$\lim_{x\to +\infty}\frac{ax}{(\ln x)^3+2x}=1$$
(donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).
Paso 1
Identificar el término dominante cuando x → +∞
En el denominador aparecen dos términos:
$$ (\ln x)^3 \quad \text{y} \quad 2x.$$
Como $x\to +\infty$, el término lineal $2x$ crece muchísimo más rápido que cualquier potencia de $\ln x$.
De hecho,
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^3}{x}=0.$$
Por tanto,
$$ (\ln x)^3+2x \sim 2x \quad (x\to+\infty).$$
💡 **Tip:** En límites en infinito, comparar crecimientos (logaritmos vs polinomios) permite ver qué término manda.
Paso 2
Calcular el límite y despejar a
Usando que el denominador es asintóticamente $2x$:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{ax}{(\ln x)^3+2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{ax}{2x}=\frac{a}{2}.$$
El enunciado dice que este límite vale 1, así que:
$$\frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{a=2}$$
💡 **Tip:** Una forma “segura” de verlo es dividir numerador y denominador por $x$:
$$\frac{ax}{(\ln x)^3+2x}=\frac{a}{\frac{(\ln x)^3}{x}+2}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{a}{0+2}=\frac{a}{2}.$$