Intersección y perpendicularidad de rectas en el espacio

**a) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten.** De la forma simétrica $$r: x-2=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2},$$ igualamos todo a un parámetro $t$: $$x-2=t,\quad \frac{y}{-1}=t,\quad \frac{z-1}{2}=t.$$ Entonces: $$r:\ \begin{cases} x=2+t,\\ y=-t,\\ z=1+2t. \end{cases}$$ Un punto de $r$ es $R_0=(2,0,1)$ (para $t=0$) y un vector director es $$\vec d_r=(1,-1,2).$$ 💡 **Tip:** En forma simétrica, el vector director se lee en los denominadores: $(1,-1,2)$.

La recta $s$ pasa por $P(1,2,3)$ y tiene vector director $\vec v=(1+a,-a,3a)$. Tomando un parámetro $\lambda$: $$s:\ (x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1+a,-a,3a).$$ Es decir, $$s:\ \begin{cases} x=1+\lambda(1+a),\\ y=2-a\lambda,\\ z=3+3a\lambda. \end{cases}$$

Para que se corten, debe existir un punto común. Igualamos las paramétricas de $r$ y $s$: $$\begin{cases} 2+t=1+\lambda(1+a)\\ -t=2-a\lambda\\ 1+2t=3+3a\lambda \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $$-t=2-a\lambda\ \Rightarrow\ t=a\lambda-2.$$ Sustituimos en la tercera: $$1+2(a\lambda-2)=3+3a\lambda$$ $$1+2a\lambda-4=3+3a\lambda$$ $$-3+2a\lambda=3+3a\lambda$$ $$-6=a\lambda.$$ Así que necesariamente $a\neq 0$ y entonces $$\lambda=-\frac{6}{a}.$$ Además, como $t=a\lambda-2$, tenemos: $$t=a\left(-\frac{6}{a}\right)-2=-6-2=-8.$$ Ahora usamos la primera ecuación: $$2+t=1+\lambda(1+a).$$ Sustituimos $t=-8$: $$2-8=1+\lambda(1+a)\ \Rightarrow\ -6=1+\lambda(1+a)\ \Rightarrow\ \lambda(1+a)=-7.$$ Con $\lambda=-\dfrac{6}{a}$: $$-\frac{6}{a}(1+a)=-7\ \Rightarrow\ \frac{6}{a}(1+a)=7$$ $$6(1+a)=7a$$ $$6+6a=7a\ \Rightarrow\ a=6.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a=6}$$ (Si quieres el punto de corte: con $t=-8$ es $(-6,8,-15)$.) 💡 **Tip:** Para que dos rectas se corten en $\mathbb{R}^3$ hace falta que haya solución común a las tres ecuaciones (una por coordenada).

**b) [1 punto] Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares.** Si dos rectas son perpendiculares (y no degeneradas), sus vectores directores cumplen: $$\vec d_r\cdot\vec d_s=0.$$ Aquí: $$\vec d_r=(1,-1,2),\qquad \vec d_s=(1+a,-a,3a).$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec d_r\cdot\vec d_s=1(1+a)+(-1)(-a)+2(3a)=(1+a)+a+6a=1+8a.$$ Imponemos perpendicularidad: $$1+8a=0\ \Rightarrow\ a=-\frac{1}{8}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{a=-\frac{1}{8}}$$ 💡 **Tip:** Para perpendicularidad en el espacio, casi siempre basta con el producto escalar de directores (no hace falta buscar ángulos).