Geometría en el espacio 2022 Andalucia
Ortogonalidad y paralelogramo en el espacio
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Se consideran los vectores $\vec u=(-1,2,3)$ y $\vec v=(2,0,-1)$, así como el punto $A(-4,4,7)$.
a) Calcula $a$ y $b$ para que el vector $\vec w=(1,a,b)$ sea ortogonal a $\vec u$ y $\vec v$. (0,75 puntos)
b) Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec u$ y $\vec v$, y que tiene al vector $\overrightarrow{OA}$ como una de sus diagonales, siendo $O$ el origen de coordenadas. (1,75 puntos)
Paso 1
Plantear la condición de ortogonalidad con productos escalares
**a) [0,75 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que $\vec w=(1,a,b)$ sea ortogonal a $\vec u$ y $\vec v$.**
Que $\vec w$ sea ortogonal a un vector significa que su **producto escalar vale 0**.
Por tanto, imponemos:
$$\vec w\cdot\vec u=0\qquad\text{y}\qquad\vec w\cdot\vec v=0.$$
💡 **Tip:** En $\mathbb{R}^3$, la ortogonalidad se resuelve casi siempre más rápido con productos escalares que con ángulos.
Paso 2
Resolver el sistema para hallar a y b
Calculamos cada producto escalar:
1) Con $\vec u=(-1,2,3)$:
$$\vec w\cdot\vec u=(1,a,b)\cdot(-1,2,3)=1\cdot(-1)+a\cdot 2+b\cdot 3=-1+2a+3b.$$
Imponemos ortogonalidad:
$$-1+2a+3b=0.$$
2) Con $\vec v=(2,0,-1)$:
$$\vec w\cdot\vec v=(1,a,b)\cdot(2,0,-1)=1\cdot 2+a\cdot 0+b\cdot(-1)=2-b.$$
Imponemos ortogonalidad:
$$2-b=0\ \Rightarrow\ b=2.$$
Sustituimos $b=2$ en la primera ecuación:
$$-1+2a+3\cdot 2=0\ \Rightarrow\ -1+2a+6=0\ \Rightarrow\ 2a+5=0\ \Rightarrow\ a=-\frac{5}{2}.$$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{a=-\frac{5}{2},\quad b=2}$$
Paso 3
Interpretar el paralelogramo: la diagonal es suma de dos lados
**b) [1,75 puntos] Determina los cuatro vértices del paralelogramo con lados paralelos a $\vec u$ y $\vec v$ y diagonal $\overrightarrow{OA}$.**
Si un paralelogramo tiene un vértice en $O$ y los lados desde ese vértice tienen direcciones $\vec u$ y $\vec v$, entonces existen escalares $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ tales que los lados son $\alpha\vec u$ y $\beta\vec v$.
El vértice opuesto a $O$ (la diagonal desde $O$) se obtiene sumando esos dos lados:
$$\overrightarrow{OA}=\alpha\vec u+\beta\vec v.$$
Como $A(-4,4,7)$, entonces
$$\overrightarrow{OA}=(-4,4,7).$$
💡 **Tip:** En un paralelogramo, **diagonal = suma de dos lados consecutivos** (como si “pegases” un lado a continuación del otro).
Paso 4
Resolver αu + βv = OA y obtener los vértices
Planteamos la ecuación vectorial:
$$\alpha(-1,2,3)+\beta(2,0,-1)=(-4,4,7).$$
La pasamos a sistema por coordenadas:
- Coordenada $y$:
$$2\alpha=4\ \Rightarrow\ \alpha=2.$$
- Coordenada $z$:
$$3\alpha-\beta=7\ \Rightarrow\ 3\cdot 2-\beta=7\ \Rightarrow\ 6-\beta=7\ \Rightarrow\ \beta=-1.$$
(Comprobación en $x$):
$$-\alpha+2\beta=-2+2(-1)=-4\ \checkmark$$
Ahora calculamos los vértices adyacentes a $O$:
- $B=O+\alpha\vec u=2\vec u=2(-1,2,3)=(-2,4,6)$.
- $C=O+\beta\vec v=-1\cdot\vec v=-1(2,0,-1)=(-2,0,1)$.
Y el vértice opuesto a $O$ es:
$$A=B+C=(-2,4,6)+(-2,0,1)=(-4,4,7),$$
que coincide con el dato, como debía ocurrir.
✅ **Resultado (apartado b):**
Los cuatro vértices pueden darse, por ejemplo, como
$$\boxed{O=(0,0,0),\ B=(-2,4,6),\ A=(-4,4,7),\ C=(-2,0,1)}.$$
(Recuerda: también es válido el orden $O\to C\to A\to B$; es el mismo paralelogramo.)
💡 **Tip:** Si $\overrightarrow{OA}$ es diagonal y $\overrightarrow{OB}=\alpha\vec u$, $\overrightarrow{OC}=\beta\vec v$, entonces siempre se cumple $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.