Álgebra 2022 Andalucia
Matriz con parámetro: invertibilidad y ecuación AX=12I
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Considera la matriz
$$A=\begin{pmatrix}
m & \sqrt{m} & \sqrt{m}\\
\sqrt{m} & m & 1\\
\sqrt{m} & 1 & m
\end{pmatrix},\quad m\ge 0.$$
a) ¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$?
b) Para $m=4$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $AX=12I$, donde $I$ es la identidad de orden $3$.
Paso 1
a) Determinante de A e invertibilidad
Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de $0$.
Para esta matriz se obtiene:
$$\det(A)=m(m-1)^2.$$
Como $m\ge 0$:
- $m=0$ $\Rightarrow$ $\det(A)=0$ $\Rightarrow$ no hay inversa.
- $m=1$ $\Rightarrow$ $\det(A)=0$ $\Rightarrow$ no hay inversa.
- si $m>0$ y $m\neq 1$ $\Rightarrow$ $\det(A)\neq 0$ $\Rightarrow$ sí hay inversa.
✅ Resultado:
$$\boxed{A\ \text{es invertible si } m\in(0,1)\cup(1,\infty).}$$
💡 **Tip:** En matrices con parámetro, factorizar el determinante suele dar directamente los valores “problemáticos”.
Como $\det(A)=m(m-1)^2$, solo fallan $m=0$ y $m=1$.
Paso 2
b) Resolver AX = 12I para m = 4
Para $m=4$:
$$A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&1\\2&1&4\end{pmatrix}.$$
Como $\det(A)=4(4-1)^2=36\neq 0$, $A$ es invertible.
Multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda:
$$AX=12I\Rightarrow X=12A^{-1}.$$
Se obtiene:
$$\boxed{X=\begin{pmatrix}
5&-2&-2\\
-2&4&0\\
-2&0&4
\end{pmatrix}.}$$
✅ Comprobación:
$$A\,X=12I.$$
💡 **Tip:** Si la ecuación es $AX=kI$, entonces la solución es siempre $X=kA^{-1}$ (si $A$ tiene inversa).