Álgebra 2022 Andalucia
Sistema lineal con parámetro: discusión por determinante y resolución
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera el sistema:
$$\begin{cases}
x-y+mz=-3\\
-mx+3y-z=1\\
x-4y+mz=-6
\end{cases}$$
a) Discutir el sistema según los valores de $m$.
b) Para $m=2$ resuelve el sistema, si es posible.
Paso 1
Planteamiento matricial
Escribimos el sistema como $A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}$, con $\mathbf{x}=(x,y,z)^T$:
$$A=\begin{pmatrix}1&-1&m\\-m&3&-1\\1&-4&m\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3\\1\\-6\end{pmatrix}.$$
💡 **Tip:** En sistemas con parámetro, el determinante de $A$ da directamente los valores con solución única (det $\neq 0$).
Paso 2
a) Determinante y primera clasificación
Calculamos:
$$\det(A)=3(m-1)(m+1).$$
- Si $m\neq 1$ y $m\neq -1$ entonces $\det(A)\neq 0$ ⇒ **SCD** (solución única).
- Si $m=1$ o $m=-1$ entonces $\det(A)=0$ ⇒ hay que estudiar rangos.
💡 **Tip:** Si el determinante es 0, no concluyas todavía: puede ser SI o SCI.
Interpreta: det≠0 ⇒ única; det=0 ⇒ estudiar rangos.
Paso 3
a) Casos especiales: m = 1 y m = -1
### Caso $m=1$
Al sustituir $m=1$ y comparar rangos se obtiene:
$$\operatorname{rg}(A)=2,\qquad \operatorname{rg}(A|\mathbf{b})=3.$$
Luego el sistema es **incompatible (SI)**.
### Caso $m=-1$
Al sustituir $m=-1$:
$$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|\mathbf{b})=2<3,$$
por tanto hay **infinitas soluciones (SCI)**.
Una parametrización (tomando $z=t$) es:
$$\boxed{(x,y,z)=(t-2,\ 1,\ t),\quad t\in\mathbb{R}.}$$
✅ **Conclusión de la discusión**
- $m\neq\pm1$ ⇒ **SCD** (solución única).
- $m=1$ ⇒ **SI** (no tiene solución).
- $m=-1$ ⇒ **SCI** (infinitas soluciones).
💡 **Tip:** En un SCI, expresa una variable como parámetro y escribe las demás en función de ella.
Paso 4
b) Resolver para m = 2
Para $m=2$ (como $2\neq\pm 1$) hay solución única.
Sustituyendo $m=2$:
$$\begin{cases}
x-y+2z=-3\\
-2x+3y-z=1\\
x-4y+2z=-6
\end{cases}$$
La solución (por reducción o Gauss) es:
$$\boxed{x=2,\quad y=1,\quad z=-2.}$$
✅ Resultado:
$$\boxed{(x,y,z)=(2,1,-2)}$$
💡 **Tip:** Comprueba con una ecuación: en la 2ª, $-2(2)+3(1)-(-2)=1$ ✅