Análisis 2022 Andalucia
Primitiva de una función racional y condición de paso por un punto
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Considera la función $f$ definida por
$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-2x+1}\quad \text{para } x\neq 1.$$
Halla una primitiva de $f$ que pase por el punto $(2,6)$.
Paso 1
Simplificar el denominador y reescribir la función
Observamos que
$$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$
así que
$$f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2},\quad x\neq 1.$$
💡 **Tip:** Cuando aparece un trinomio cuadrado perfecto, factorizarlo suele facilitar mucho la integral.
Paso 2
Cambio de variable t=x-1 para descomponer en términos simples
Tomamos $t=x-1$ (de modo que $x=t+1$). Entonces:
$$f(x)=\frac{(t+1)^3}{t^2}.$$
Desarrollamos el numerador:
$$(t+1)^3=t^3+3t^2+3t+1.$$
Dividimos entre $t^2$:
$$\frac{t^3+3t^2+3t+1}{t^2}=t+3+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2}.$$
Volviendo a $x$ (con $t=x-1$):
$$f(x)=(x-1)+3+\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}=x+2+\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}.$$
Paso 3
Integrar término a término
Integramos:
$$\int (x+2)\,dx=\frac{x^2}{2}+2x,$$
$$\int \frac{3}{x-1}\,dx=3\ln|x-1|,$$
$$\int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx=\int (x-1)^{-2}dx=-(x-1)^{-1}=-\frac{1}{x-1}.$$
Una primitiva general es:
$$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C,\quad x\neq 1.$$
Paso 4
Imponer que la primitiva pase por (2,6) para hallar C
Usamos la condición $F(2)=6$.
Calculamos:
$$F(2)=\frac{2^2}{2}+2\cdot 2+3\ln|2-1|-\frac{1}{2-1}+C.$$
$$F(2)=\frac{4}{2}+4+3\ln(1)-1+C=2+4+0-1+C=5+C.$$
Imponiendo $5+C=6$:
$$C=1.$$
✅ **Primitiva pedida:**
$$\boxed{F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+1,\quad x\neq 1.}$$