Función a trozos: cortes con el eje X y área del recinto

**a) [1 punto] Cortes con el eje X y esbozo.** La función está definida a trozos: - Si $x<0$, $f(x)=2x+4$ (una recta). - Si $x\ge 0$, $f(x)=(x-2)^2$ (una parábola). 💡 **Tip:** En funciones a trozos, resuelve cada apartado (cortes, signo, etc.) **en el intervalo donde esa fórmula es válida**.

Para cortar al eje $X$ se impone $f(x)=0$. **Trozos $x<0$:** $$2x+4=0 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2.$$ Como $-2<0$, **sí es válido**. Corte: $(-2,0)$. **Trozos $x\ge 0$:** $$(x-2)^2=0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2.$$ Como $2\ge 0$, **sí es válido**. Corte: $(2,0)$. ✅ **Cortes con el eje X:** $$\boxed{(-2,0)\ \text{y}\ (2,0)}$$

Para esbozar, miramos qué pasa en $x=0$: - Lado izquierdo (recta): $\lim_{x\to 0^-}(2x+4)=4$ (pero el punto $x=0$ **no** pertenece a este trozo). - Lado derecho (parábola): $f(0)=(0-2)^2=4$ (y **sí** pertenece porque $0\ge 0$). Por tanto, la gráfica pasa por $(0,4)$ (punto **cerrado** en la parábola) y la recta llega a $(0,4)$ con punto **abierto**. Esbozo: - Recta $y=2x+4$ solo para $x<0$, cortando en $(-2,0)$. - Parábola $y=(x-2)^2$ para $x\ge 0$, con vértice en $(2,0)$. 💡 **Tip:** Si ambos trozos dan el mismo valor en el punto de unión, la función es **continua** ahí (aunque el trozo izquierdo no lo incluya).

**b) [1,5 puntos] Área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje X.** La región **acotada** por la gráfica y el eje $X$ queda entre los cortes $x=-2$ y $x=2$: - De $-2$ a $0$ se usa la recta $y=2x+4$ (encima del eje $X$). - De $0$ a $2$ se usa la parábola $y=(x-2)^2$ (también encima del eje $X$). Entonces: $$\text{Área}=\int_{-2}^{0}(2x+4)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx.$$ 💡 **Tip:** Área entre curva y eje $X$ = integral del valor de $y$ cuando la función está por encima del eje.

Primera integral: $$\int(2x+4)dx=x^2+4x.$$ $$\int_{-2}^{0}(2x+4)dx=(0^2+4\cdot 0)-\big(({-2})^2+4({-2})\big)=0-(4-8)=4.$$ Segunda integral: $$\int_{0}^{2}(x-2)^2dx.$$ Con $u=x-2$, cuando $x=0$, $u=-2$; cuando $x=2$, $u=0$: $$\int_{0}^{2}(x-2)^2dx=\int_{-2}^{0}u^2\,du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-2}^{0}=0-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}.$$ Área total: $$\text{Área}=4+\frac{8}{3}=\frac{12}{3}+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Área}=\frac{20}{3}}$$