Rectángulo de área máxima entre dos parábolas

La región está limitada por $f$ (arriba) y $g$ (abajo). Primero hallamos dónde se cortan: $$4-\frac{x^2}{3}=\frac{x^2}{6}-2.$$ Pasamos términos: $$4+2=\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{6}\Rightarrow 6=\frac{x^2}{2}\Rightarrow x^2=12.$$ Por tanto: $$\boxed{x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt3}.$$ 💡 **Tip:** En problemas de “área máxima dentro de una región”, lo primero es fijar el intervalo donde existe la región (aquí, entre los puntos de corte).

Las dos parábolas son simétricas respecto al eje $y$ (dependen de $x^2$), así que el rectángulo de área máxima puede tomarse simétrico: lados verticales en $x=\pm t$. Entonces: - **Anchura**: $2t$. - **Altura**: diferencia entre curvas en $x=t$: $$h(t)=f(t)-g(t)=\left(4-\frac{t^2}{3}\right)-\left(\frac{t^2}{6}-2\right)=6-\frac{t^2}{2}.$$ Área en función de $t$: $$A(t)=\text{anchura}\cdot\text{altura}=2t\left(6-\frac{t^2}{2}\right)=12t-t^3.$$ Dominio del parámetro: como el rectángulo debe quedar dentro de la región, necesitamos $0\le t\le 2\sqrt3$ (desde el eje $y$ hasta el punto de corte derecho). 💡 **Tip:** Cuando hay simetría respecto al eje $y$, parametrizar con $\pm t$ simplifica el planteamiento y suele llevar directamente al máximo.

Derivamos: $$A(t)=12t-t^3\Rightarrow A'(t)=12-3t^2.$$ Puntos críticos: $$A'(t)=0\Rightarrow 12-3t^2=0\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=2$$ (Se toma $t=2$ porque $t\ge 0$). Comprobación rápida: - En los extremos: $A(0)=0$ y $A(2\sqrt3)=12(2\sqrt3)-(2\sqrt3)^3=24\sqrt3-24\sqrt3=0$. - En $t=2$: $A(2)=12\cdot2-8=16$. ✅ Máximo: $$\boxed{t=2\ \Rightarrow\ A_{\max}=16\ \text{u}^2}$$ 💡 **Tip:** En intervalos cerrados, basta comparar el valor en los críticos y en los extremos.

Con $t=2$: **Anchura**: $$2t=4.$$ **Altura**: $$h(2)=6-\frac{2^2}{2}=6-2=4.$$ ✅ Dimensiones del rectángulo de área máxima: $$\boxed{\text{Anchura}=4,\qquad \text{Altura}=4}$$ (Es un **cuadrado**.) Si se quieren los vértices: - Parte superior: $y=f(2)=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$. - Parte inferior: $y=g(2)=\frac{4}{6}-2=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$. Vértices: $$\boxed{(-2,-\tfrac43),\ (2,-\tfrac43),\ (2,\tfrac83),\ (-2,\tfrac83)}$$ 💡 **Tip:** Las dimensiones salen de anchura $2t$ y altura $f(t)-g(t)$; los vértices se obtienen evaluando $f$ y $g$ en $x=\pm t$.

En el interactivo puedes mover $t$ para ver cómo cambia el rectángulo inscrito entre las dos parábolas y cómo varía su área $A(t)$.