Función a trozos continua: cálculo de parámetros y estudio de asíntotas

Como la función es **continua**, debe ser continua en los puntos donde cambia la definición: $x=-1$ y $x=1$. ### Continuidad en $x=-1$ En el tramo $x<-1$: $$f(x)=\frac{1}{x}\ \Rightarrow\ \lim_{x\to-1^-}f(x)=\frac{1}{-1}=-1.$$ En el tramo $-1\le x<1$ el valor en $x=-1$ viene dado por la recta: $$f(-1)=a(-1)+b=-a+b.$$ Continuidad $\Rightarrow f(-1)=\lim_{x\to-1^-}f(x)$: $$-a+b=-1.\tag{1}$$ ### Continuidad en $x=1$ En el tramo $x\ge 1$: $$f(1)=\frac{1^2}{1+1}=\frac12.$$ En el tramo lineal ($x<1$) el límite por la izquierda es: $$\lim_{x\to 1^-}(ax+b)=a+b.$$ Continuidad $\Rightarrow \lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)$: $$a+b=\frac12.\tag{2}$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, para continuidad en un punto de cambio, iguala el valor (o límite) de la rama izquierda con el de la rama derecha.

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2): $$\begin{cases} -a+b=-1\\ a+b=\frac12 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-a+b)+(a+b)=-1+\frac12\Rightarrow 2b=-\frac12\Rightarrow b=-\frac14.$$ Sustituimos en $a+b=\frac12$: $$a-\frac14=\frac12\Rightarrow a=\frac12+\frac14=\frac34.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{a=\frac34,\qquad b=-\frac14}$$ Por tanto, $$\boxed{f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x} & x<-1\\ \dfrac34x-\dfrac14 & -1\le x<1\\ \dfrac{x^2}{x+1} & x\ge 1 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Una vez hallados $a$ y $b$, es buena idea comprobar rápidamente: - En $x=-1$: $\frac34(-1)-\frac14=-1$ (coincide con $1/(-1)$). - En $x=1$: $\frac34(1)-\frac14=\frac12$ (coincide con $\frac{1^2}{2}$).

Para $x\to -\infty$ estamos en el tramo $x<-1$, es decir, $f(x)=\dfrac1x$. Entonces: $$\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac1x=0.$$ ✅ Asíntota horizontal por la izquierda: $$\boxed{y=0\quad (x\to -\infty)}$$ 💡 **Tip:** Una asíntota horizontal $y=L$ aparece si el límite de $f(x)$ al infinito vale $L$.

Para $x\to +\infty$ estamos en el tramo $x\ge 1$: $$f(x)=\frac{x^2}{x+1}.$$ Hacemos división de polinomios: $$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.$$ Entonces: $$f(x)-(x-1)=\frac{1}{x+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.$$ ✅ Asíntota oblicua por la derecha: $$\boxed{y=x-1\quad (x\to +\infty)}$$ 💡 **Tip:** Si $f(x)=mx+n+\varepsilon(x)$ con $\varepsilon(x)\to 0$, la asíntota oblicua es $y=mx+n$.

Una asíntota vertical $x=c$ aparece si $\lim_{x\to c} f(x)=\pm\infty$. Aquí: - En $x=-1$ y $x=1$ la función es **continua** (ya lo hemos impuesto), así que no puede “dispararse” a infinito. - El tramo $\dfrac1x$ solo se usa cuando $x<-1$, por lo que no se aproxima a $x=0$ (donde la función $1/x$ tendría una asíntota vertical). - En el tramo $x\ge 1$, $\dfrac{x^2}{x+1}$ sería problemática en $x=-1$, pero ese punto no pertenece a este tramo. ✅ Conclusión: $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales.}}$$ 💡 **Tip:** Una función a trozos puede “evitar” una asíntota vertical si el punto conflictivo queda fuera del dominio de la rama correspondiente.

En la gráfica se representa $f$ y sus asíntotas relevantes ($y=0$ al $-\infty$ y $y=x-1$ al $+\infty$).