Optimización del área de un espejo tras una rotura

**a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de $x$, cuando $0 \le x \le 32$. (4 puntos)** Primero, situamos el espejo en un sistema de ejes coordenados. Consideramos el vértice inferior izquierdo del espejo como el origen $(0,0)$. Dado que el espejo es un cuadrado de 80 cm de lado, sus dimensiones originales abarcan desde $x=0$ hasta $x=80$ y desde $y=0$ hasta $y=80$. La rotura ocurre en la esquina superior derecha. El trozo desprendido es un triángulo de catetos 32 cm (horizontal) y 40 cm (vertical). Esto significa que la línea de rotura une los puntos: - Punto inicial: $(80 - 32, 80) = (48, 80)$ - Punto final: $(80, 80 - 40) = (80, 40)$ El enunciado nos indica que un vértice de la pieza rectangular $R$ está sobre esta línea y nos define la variable $x$ en el intervalo $[0, 32]$. Esto implica que $x$ representa la distancia horizontal recorrida sobre el segmento de rotura a partir del punto $(48, 80)$. Por tanto, la base del rectángulo será $b = 48 + x$ y su altura será $y$. Mediante semejanza de triángulos o hallando la ecuación de la recta que pasa por $(48, 80)$ y $(80, 40)$, determinamos la relación para la altura $y$: La pendiente es $m = \frac{40 - 80}{80 - 48} = \frac{-40}{32} = -1,25$. La ecuación de la recta es: $y - 80 = -1,25(X - 48)$. Como nuestra variable $x$ es $X - 48$, tenemos: $$y = 80 - 1,25x$$ 💡 **Tip:** El valor de $y$ disminuye linealmente a medida que $x$ aumenta desde el inicio del corte hasta el final.

El área del rectángulo $R$ es el producto de su base por su altura. Base: $48 + x$ Altura: $80 - 1,25x$ Definimos la función área $A(x)$: $$A(x) = (48 + x)(80 - 1,25x)$$ Multiplicamos los términos: $$A(x) = 48 \cdot 80 - 48 \cdot 1,25x + 80x - 1,25x^2$$ $$A(x) = 3840 - 60x + 80x - 1,25x^2$$ $$A(x) = -1,25x^2 + 20x + 3840$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A(x) = -1,25x^2 + 20x + 3840, \quad 0 \le x \le 32}$$

**b) Calculad las dimensiones que tendrá $R$ para que su área sea máxima. (4 puntos)** Para maximizar el área, calculamos la derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = -2,5x + 20$$ Buscamos el valor de $x$ tal que $A'(x) = 0$: $$-2,5x + 20 = 0 \implies 2,5x = 20 \implies x = \frac{20}{2,5} = 8$$ El valor crítico es **$x = 8$ cm**. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el máximo suele encontrarse donde la derivada se anula, pero siempre debemos confirmar que es un máximo relativo.

Estudiamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x=8$ para confirmar que se trata de un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 8) & 8 & (8, 32] \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x=8$ y decrece después, existe un **máximo absoluto** en $x = 8$. También podemos comprobarlo con la segunda derivada: $$A''(x) = -2,5$$ Como $A''(8) = -2,5 \lt 0$, se confirma que es un máximo.

Sustituimos $x = 8$ para hallar las dimensiones del rectángulo $R$: Base del rectángulo: $$b = 48 + x = 48 + 8 = 56 \text{ cm}$$ Altura del rectángulo: $$y = 80 - 1,25(8) = 80 - 10 = 70 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 56 \text{ cm de base y } 70 \text{ cm de altura}}$$

**c) Calculad el valor de dicha área máxima. (2 puntos)** Simplemente multiplicamos las dimensiones obtenidas en el apartado anterior o evaluamos la función $A(8)$: $$A(8) = 56 \cdot 70 = 3920 \text{ cm}^2$$ También podemos usar la expresión polinómica: $$A(8) = -1,25(8^2) + 20(8) + 3840 = -1,25(64) + 160 + 3840 = -80 + 160 + 3840 = 3920$$ ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{\text{Área máxima} = 3920 \text{ cm}^2}$$