Distancia de un punto a un plano y cálculo de punto simétrico

**a) Calculad la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (2 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula directa: $$d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es $P(1, 2, 3)$ y el plano es $3x + 2y + z + 4 = 0$. Sustituimos los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|3(1) + 2(2) + 1(3) + 4|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|3 + 4 + 3 + 4|}{\sqrt{9 + 4 + 1}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(P, \pi) = \frac{14}{\sqrt{14}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{14}$ arriba y abajo: $$d(P, \pi) = \frac{14\sqrt{14}}{14} = \sqrt{14} \approx 3,74 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor positivo, por eso se utiliza el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = \sqrt{14} \text{ u}}$$

**b) Calculad el punto $P'$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$. (5 puntos)** Para hallar el simétrico $P'$, primero debemos encontrar la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. El vector director de esta recta, $\vec{v_r}$, será el vector normal del plano $\pi$. A partir de la ecuación del plano $3x + 2y + z + 4 = 0$, extraemos el vector normal: $$\vec{n_\pi} = (3, 2, 1) \implies \vec{v_r} = (3, 2, 1)$$ La recta $r$ en ecuaciones paramétricas, pasando por $P(1, 2, 3)$, es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

El punto $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre el plano) es el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de la recta en la ecuación del plano: $$3(1 + 3\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (3 + \lambda) + 4 = 0$$ Expandimos y resolvemos para $\lambda$: $$3 + 9\lambda + 4 + 4\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0$$ $$14\lambda + 14 = 0 \implies 14\lambda = -14 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$M \equiv \begin{cases} x = 1 + 3(-1) = -2 \\ y = 2 + 2(-1) = 0 \\ z = 3 + (-1) = 2 \end{cases} \implies M(-2, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ siempre debe satisfacer la ecuación del plano. Comprobamos: $3(-2) + 2(0) + 2 + 4 = -6 + 0 + 6 = 0$. ¡Correcto!

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. Si $P'(x', y', z')$, se cumple que: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5$$ $$y' = 2(0) - 2 = 0 - 2 = -2$$ $$z' = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$$ Por lo tanto, el punto simétrico es **$P'(-5, -2, 1)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-5, -2, 1)}$$

**c) Calculad la ecuación del plano $\pi'$ que pasa por $P'$ y es paralelo a $\pi$. (3 puntos)** Si el plano $\pi'$ es paralelo al plano $\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$, sus vectores normales son iguales (o proporcionales). Por tanto, la ecuación de $\pi'$ será de la forma: $$\pi' \equiv 3x + 2y + z + D' = 0$$ Como sabemos que el plano pasa por el punto $P'(-5, -2, 1)$ obtenido en el apartado anterior, sustituimos sus coordenadas para hallar $D'$: $$3(-5) + 2(-2) + 1 + D' = 0$$ $$-15 - 4 + 1 + D' = 0 \implies -18 + D' = 0 \implies D' = 18$$ La ecuación del plano buscado es $3x + 2y + z + 18 = 0$. 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si sus coeficientes $A, B$ y $C$ son proporcionales. En este caso, al ser paralelos, solo cambia el término independiente $D$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv 3x + 2y + z + 18 = 0}$$