Rango, invertibilidad y ecuaciones matriciales con parámetros

**a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro $m$. (4 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, empezamos calculando su determinante. Utilizaremos el desarrollo por la segunda fila, ya que contiene dos ceros, lo que facilita enormemente el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = m \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -1 & m \\ 2 & m^2 + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = m \cdot [(-1)(m^2 + 1) - (2)(m)] = m(-m^2 - 1 - 2m)$$ $$|A| = -m(m^2 + 2m + 1) = -m(m+1)^2$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3. $$\boxed{|A| = -m(m+1)^2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$-m(m+1)^2 = 0 \implies m = 0, \quad m = -1$$ Analizamos los casos posibles: **Caso 1: Si $m \neq 0$ y $m \neq -1$** Como $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: Si $m = 0$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como hay una fila de ceros, $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 4 = -5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Caso 3: Si $m = -1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\} & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 0 \text{ o } m = -1 & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Explicad cuándo la matriz $A$ es invertible. (2 puntos)** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Según los cálculos realizados en el apartado anterior, hemos visto que el determinante se anula para $m = 0$ y $m = -1$. 💡 **Tip:** Recuerda que $A$ es invertible $\iff \text{rg}(A) = n$ (donde $n$ es el orden de la matriz). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ es invertible cuando } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**c) Resolved la ecuación $XA = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m=1$. (4 puntos)** Si $m = 1$, el determinante es $|A| = -1(1+1)^2 = -4 \neq 0$, por lo que $A$ es invertible. En la ecuación $XA = I$, despejamos $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$XA \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1} \implies X = A^{-1}$$ Para $m = 1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa se calcula mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$.

Calculamos primero los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(4-1) = -3$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2-2 = -4$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1-4) = 5$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ -3 & -4 & 5 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Su traspuesta es: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos la matriz traspuesta de los adjuntos por el determinante $|A| = -4$: $$X = A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \end{pmatrix}$$ Operando obtenemos la matriz $X$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -5/4 & 1/4 \end{pmatrix}}$$