Estudio de función racional e integración por fracciones simples

**a) El dominio y las asíntotas de la función. (2 puntos)** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x(x+2) = 0 \implies x=0, \quad x=-2$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones con denominadores, el dominio excluye los valores de $x$ donde el denominador es $0$, ya que la división por cero no está definida.

Las posibles asíntotas verticales se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio: $x = -2$ y $x = 0$. Para **$x = -2$**: $$\lim_{x \to -2} \frac{x-1}{x(x+2)} = \frac{-3}{0} = \infty$$ Para **$x = 0$**: $$\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{x(x+2)} = \frac{-1}{0} = \infty$$ Al ser los límites infinitos, confirmamos que existen asíntotas verticales en dichas rectas. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{Asíntotas Verticales: } x = -2, \, x = 0}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-1}{x^2+2x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$$ Como el límite es un valor finito $L=0$, existe una asíntota horizontal en la recta $y = 0$. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite en el infinito siempre es $0$, lo que implica que el eje $X$ ($y=0$) es la asíntota horizontal. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{Asíntota Horizontal: } y = 0}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. (4 puntos)** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f(x) = \frac{x-1}{x^2+2x}$$ $$f'(x) = \frac{(1)(x^2+2x) - (x-1)(2x+2)}{(x^2+2x)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$f'(x) = \frac{x^2+2x - (2x^2+2x-2x-2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{x^2+2x-2x^2+2}{(x^2+2x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2+2x+2}{(x^2+2x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-x^2+2x+2 = 0 \implies x^2-2x-2 = 0$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ Los puntos críticos son $x_1 = 1-\sqrt{3} \approx -0.73$ y $x_2 = 1+\sqrt{3} \approx 2.73$.

Para determinar el crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y las discontinuidades ($x=-2, 0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 1-\sqrt{3}) & 1-\sqrt{3} & (1-\sqrt{3}, 0) & 0 & (0, 1+\sqrt{3}) & 1+\sqrt{3} & (1+\sqrt{3}, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Como el denominador $(x^2+2x)^2$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del numerador $-x^2+2x+2$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (1-\sqrt{3}, 0) \cup (0, 1+\sqrt{3}) \\ &\text{Decrecimiento: } (-\infty, -2) \cup (-2, 1-\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) La integral $\int f(x) dx$. (4 puntos)** Como el grado del numerador es menor que el del denominador, aplicamos el método de descomposición en fracciones simples: $$\frac{x-1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$$ Igualamos los numeradores: $$x-1 = A(x+2) + Bx$$ - Si **$x = 0$**: $-1 = 2A \implies A = -\frac{1}{2}$ - Si **$x = -2$**: $-3 = -2B \implies B = \frac{3}{2}$ 💡 **Tip:** La descomposición en fracciones simples es la técnica estándar para integrar funciones racionales cuando el denominador es factorizable.

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral: $$\int \frac{x-1}{x(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1/2}{x} + \frac{3/2}{x+2} \right) dx$$ Separamos y extraemos las constantes: $$= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x+2} dx$$ Integramos: $$= -\frac{1}{2} \ln|x| + \frac{3}{2} \ln|x+2| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int f(x) dx = -\frac{1}{2} \ln|x| + \frac{3}{2} \ln|x+2| + C}$$