Estudio de la posición relativa de tres planos con un parámetro

**a) Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$. (4 puntos)** Para estudiar la posición relativa de los tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones implícitas: $$\begin{cases} x + y + z = a - 1 \\ 2x + y + az = a \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M'$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}, \quad M' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $M$ mediante la regla de Sarrus: $$\det(M) = |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot a \cdot 1) + (2 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$\det(M) = 1 + a + 2a - 1 - a^2 - 2 = -a^2 + 3a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(-2)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm 1}{-2} \implies \begin{cases} a = 1 \\ a = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $\det(M) \neq 0$, el sistema es compatible determinado (los planos se cortan en un punto único) según el Teorema de Rouché-Capelli.

Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$, entonces $\det(M) \neq 0$. Esto implica que $\text{rango}(M) = \text{rango}(M') = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, 2, \text{ los tres planos se cortan en un único punto.}}$$

Sustituimos $a = 1$ en las matrices: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Como la fila 1 y la fila 3 de $M$ son iguales, $\text{rango}(M) = 2$ (ya que las dos primeras filas no son proporcionales). Para el rango de $M'$, calculamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1 + 0) - (0 + 1 + 2) = 2 - 3 = -1 \neq 0$$ Luego, $\text{rango}(M') = 3$. Como $\text{rango}(M) \neq \text{rango}(M')$, el sistema es **Incompatible (SI)**. Analizando las ecuaciones de los planos: $\pi_1: x+y+z=0$ $\pi_3: x+y+z=1$ Sus vectores normales son iguales, $\vec{n}_1 = \vec{n}_3 = (1, 1, 1)$, pero sus términos independientes son distintos. Por tanto, los planos **$\pi_1$ y $\pi_3$ son paralelos y distintos**. El plano $\pi_2$ los corta a ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \pi_1 \parallel \pi_3 \text{ y } \pi_2 \text{ es secante a ambos.}}$$

Sustituimos $a = 2$ en las matrices: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad M' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que en $M'$, las columnas 1, 3 y 4 son iguales ($C_1 = C_3 = C_4$). Por tanto, el rango no puede ser 3. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(M) = \text{rango}(M') = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. No hay planos paralelos (los vectores normales no son proporcionales entre sí). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ los tres planos se cortan en una recta común.}}$$

**b) Para $a = 1$, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $\pi_1$ y $\pi_3$. (3 puntos)** En el apartado anterior hemos determinado que para $a = 1$: - $\pi_1: x + y + z = 0$ - $\pi_3: x + y + z = 1$ Como ambos planos tienen el mismo vector normal $\vec{n} = (1, 1, 1)$ pero distinto término independiente, los planos son **paralelos y distintos**. Al ser paralelos, no tienen ningún punto en común, por lo que no existe recta de intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para } a = 1, \text{ no existe recta de corte entre } \pi_1 \text{ y } \pi_3.}$$

**c) Para $a = 2$, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (3 puntos)** Para $a = 2$, los planos son: $\pi_1: x + y + z = 1$ $\pi_2: 2x + y + 2z = 2$ Sus vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 1, 2)$. No son proporcionales, luego se cortan en una recta $r$. Para hallar su dirección $\vec{v}_r$, calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-1) - \vec{j}(2-2) + \vec{k}(1-2) = (1, 0, -1)$$ Buscamos un punto de la recta haciendo $z = 0$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + y = 2 \end{cases} \implies \text{Restando: } x = 1 \implies y = 1 - 1 = 0$$ El punto es $P(1, 0, 0)$. La ecuación paramétrica de la recta es: $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = -\lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar la recta de intersección de dos planos, puedes resolver el sistema de dos ecuaciones dejando una incógnita como parámetro.