Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Estudiadlo en función de los valores del parámetro real $a$. (5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a-1 & 2 \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a+1 & 2 \\ 1 & a-1 & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante $|A|$ en función del parámetro $a$ utilizando la regla de Sarrus.

Calculamos $|A|$ paso a paso: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a-1 & 2 \\ 2 & a & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot (a-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + (a+1) \cdot 1 \cdot a] - [2 \cdot (a-1) \cdot (a+1) + a \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ Desarrollamos los productos: $$|A| = [(a-1) + 4 + (a^2+a)] - [2(a^2-1) + 2a + 1]$$ $$|A| = [a^2 + 2a + 3] - [2a^2 - 2 + 2a + 1]$$ $$|A| = a^2 + 2a + 3 - 2a^2 - 2a + 1 = -a^2 + 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies \mathbf{a = 2, \quad a = -2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es máximo (en este caso, 3).

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -2$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3 y la matriz ampliada no puede tener un rango mayor, $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, con solución única. **Caso 2: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Observamos que la columna 1 y la columna 2 son iguales, y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-3 = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ usando el término independiente: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2+6+2) - (8+1-3) = 6 - 6 = 0$$ Al ser todos los menores de orden 3 nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3-1 = -4 \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (3+2-4) - (-12-2-1) = 1 - (-15) = 16 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq \pm 2: \text{SCD} \\ a = 2: \text{SCI} \\ a = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible. (5 puntos)** El sistema es compatible en dos casos: $a \neq \pm 2$ (SCD) y $a = 2$ (SCI). **Caso SCD ($a \neq \pm 2$):** Aplicamos la Regla de Cramer. Sabemos que $|A| = 4 - a^2$. $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & a+1 \\ 1 & a-1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix}}{4-a^2} = \frac{(2a-2-2+a^2+a) - (-a^2+1+4a+1)}{4-a^2} = \frac{2a^2-a-6}{4-a^2}$$ Simplificando: $2a^2-a-6 = (a-2)(2a+3)$, y $4-a^2 = -(a-2)(a+2)$. $$x = \frac{(a-2)(2a+3)}{-(a-2)(a+2)} = -\frac{2a+3}{a+2}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & a+1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}}{4-a^2} = \frac{(1+8-a-1) - (2a+2-2+2)}{4-a^2} = \frac{6-3a}{4-a^2} = \frac{3(2-a)}{(2-a)(2+a)} = \frac{3}{a+2}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & a-1 & 1 \\ 2 & a & -1 \end{vmatrix}}{4-a^2} = \frac{(-a+1+2+2a) - (4a-4+a-1)}{4-a^2} = \frac{-4a+8}{4-a^2} = \frac{4(2-a)}{(2-a)(2+a)} = \frac{4}{a+2}$$ 💡 **Tip:** Al simplificar fracciones algebraicas en sistemas con parámetros, busca factores comunes relacionados con las raíces del determinante principal (en este caso $(a-2)$).

**Caso SCI ($a = 2$):** El sistema se reduce al usar las dos primeras ecuaciones, ya que $\text{rg}(A)=2$. Además, como $C_1=C_2$ en la matriz $A$, las variables $x$ e $y$ están ligadas. $$\begin{cases} x + y + 3z = 2 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$$ Restando la segunda a la primera: $(x+y+3z) - (x+y+2z) = 2-1 \implies \mathbf{z = 1}.$ Sustituimos $z=1$ en la segunda ecuación: $x + y + 2(1) = 1 \implies x + y = -1 \implies \mathbf{y = -1 - x}.$ Definimos $x = \lambda$ como parámetro libre ($\lambda \in \mathbb{R}$): ✅ **Resultado (Soluciones):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Si } a \neq \pm 2: x = \frac{-2a-3}{a+2}, y = \frac{3}{a+2}, z = \frac{4}{a+2} \\ & \text{Si } a = 2: (x, y, z) = (\lambda, -1-\lambda, 1), \forall \lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}}$$