Optimización de las dimensiones de un campo de juego

**a) Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura $y$ del rectángulo.** Primero, definimos las áreas que componen el campo. El campo está formado por un rectángulo de base $x$ y altura $y$, y dos semicírculos en los laterales cuyo diámetro es $y$. El radio de estos semicírculos es $R = \frac{y}{2}$. El área total $A$ es la suma del área del rectángulo y el área de los dos semicírculos (que forman un círculo completo): $$A = A_{\text{rectángulo}} + A_{\text{círculo}} = x \cdot y + \pi R^2 = xy + \pi \left(\frac{y}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi y^2}{4}$$ Como el enunciado indica que el área total es $(4 + \pi)$, establecemos la ecuación: $$xy + \frac{\pi y^2}{4} = 4 + \pi$$ Para expresar todo en función de $y$, despejamos $x$: $$xy = 4 + \pi - \frac{\pi y^2}{4} \implies x = \frac{4 + \pi}{y} - \frac{\pi y}{4}$$ 💡 **Tip:** Despejar una variable en función de la otra es el paso estándar en problemas de optimización con una restricción de área o perímetro.

La longitud total de las rayas, que llamaremos $L$, incluye todas las líneas del dibujo: - 2 lados horizontales del rectángulo (longitud $2x$). - 2 lados verticales del rectángulo (longitud $2y$). - 2 semicircunferencias (que juntas forman una circunferencia completa de longitud $2\pi R = \pi y$). La función longitud es: $$L = 2x + 2y + \pi y$$ Sustituimos la expresión de $x$ hallada anteriormente: $$L(y) = 2 \left( \frac{4 + \pi}{y} - \frac{\pi y}{4} \right) + 2y + \pi y$$ $$L(y) = \frac{8 + 2\pi}{y} - \frac{\pi y}{2} + 2y + \pi y$$ Agrupamos los términos con $y$: $$L(y) = \frac{8 + 2\pi}{y} + 2y + \frac{\pi y}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{L(y) = \frac{8 + 2\pi}{y} + \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)y}$$

**b) Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima.** Para minimizar la longitud de la pintura (las rayas), derivamos la función $L(y)$ con respecto a $y$ e igualamos a cero. $$L'(y) = -\frac{8 + 2\pi}{y^2} + 2 + \frac{\pi}{2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-\frac{8 + 2\pi}{y^2} + \frac{4 + \pi}{2} = 0$$ $$\frac{4 + \pi}{2} = \frac{8 + 2\pi}{y^2}$$ Observamos que $8 + 2\pi = 2(4 + \pi)$, por lo que la ecuación se simplifica significativamente: $$\frac{4 + \pi}{2} = \frac{2(4 + \pi)}{y^2}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{2}{y^2} \implies y^2 = 4 \implies y = 2 \text{ m}$$ (Tomamos solo el valor positivo ya que $y$ representa una longitud). 💡 **Tip:** Si al derivar una fracción del tipo $k/y$ obtienes $-k/y^2$, recuerda que el signo negativo es crucial para localizar el mínimo.

Para confirmar que $y = 2$ es un mínimo, calculamos la segunda derivada: $$L''(y) = \frac{2(8 + 2\pi)}{y^3}$$ Para $y = 2$, $L''(2) = \frac{16 + 4\pi}{8} > 0$. Al ser positiva, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $y = 2$. Calculamos ahora el valor de $x$ sustituyendo $y = 2$ en la expresión despejada anteriormente: $$x = \frac{4 + \pi}{2} - \frac{\pi(2)}{4} = 2 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 2 \text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones que minimizan la longitud de las rayas son un rectángulo que resulta ser un cuadrado. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{x = 2 \text{ m}, \quad y = 2 \text{ m}}$$