Puntos, rectas y planos en el espacio. Distancias y alineación.

**a) La ecuación del plano que contiene a $P, Q$ y $R$ cuando $\alpha = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.** Si $\alpha = 1$, el punto $R$ es $R(1, 3, -1)$. Para hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los tres puntos, necesitamos un punto (por ejemplo, $P$) y dos vectores directores no paralelos que pertenezcan al plano: $$\vec{u} = \vec{PQ} = Q - P = (2-1, -1-1, 1-0) = (1, -2, 1)$$ $$\vec{v} = \vec{PR} = R - P = (1-1, 3-1, -1-0) = (0, 2, -1)$$ La ecuación implícita del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por la primera fila o Sarrus): $$(x-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - (y-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(2-2) - (y-1)(-1-0) + z(2-0) = 0$$ $$0 + (y-1) + 2z = 0 \implies y + 2z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$. Su ecuación es $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv y + 2z - 1 = 0}$$

Para calcular la distancia del plano $\pi \equiv y + 2z - 1 = 0$ al origen $O(0,0,0)$, utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(O, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, $A=0, B=1, C=2, D=-1$ y el punto es $(0,0,0)$: $$d(O, \pi) = \frac{|0(0) + 1(0) + 2(0) - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(O, \pi) = \frac{\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre es un valor positivo. Si el plano pasara por el origen, el término independiente $D$ sería cero y la distancia sería $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(O, \pi) = \frac{\sqrt{5}}{5}}$$

**b) La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $\alpha = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$. Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Primero definimos la recta $s$ que pasa por $P(1,1,0)$ y $Q(2,-1,1)$. Su vector director es $\vec{v_s} = \vec{PQ} = (1, -2, 1)$. Como la recta $r$ es paralela a $s$, ambas comparten el mismo vector director: $\vec{v_r} = \vec{v_s} = (1, -2, 1)$. Dado que $r$ pasa por $R(1, 3, -1)$, su ecuación paramétrica es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 3 - 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales y no tienen puntos en común (o son coincidentes). En este caso, $R \notin s$ (se puede comprobar fácilmente). ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (x,y,z) = (1,3,-1) + \lambda(1, -2, 1)}$$

Como las rectas $r$ y $s$ son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquier punto de una (por ejemplo $R$ de la recta $r$) a la otra recta ($s$). La fórmula de la distancia de un punto $R$ a una recta $s$ (que pasa por $P$ con vector $\vec{v_s}$) es: $$d(r, s) = d(R, s) = \frac{|\vec{PR} \times \vec{v_s}|}{|\vec{v_s}|}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. Vector $\vec{PR} = (1-1, 3-1, -1-0) = (0, 2, -1)$. 2. Producto vectorial $\vec{PR} \times \vec{v_s}$: $$\vec{PR} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-2) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(0 - 2) = (0, -1, -2)$$ 3. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{PR} \times \vec{v_s}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$ 4. Módulo del vector director $\vec{v_s} = (1, -2, 1)$: $$|\vec{v_s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$$ La distancia es: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{30}}{6}}$$

**c) Los valores de $\alpha$ para los cuales $P, Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.** Tres puntos $P, Q$ y $R$ están alineados si los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ son proporcionales (tienen la misma dirección). Obtenemos los vectores: $$\vec{PQ} = (1, -2, 1)$$ $$\vec{PR} = (\alpha - 1, 3 - 1, -1 - 0) = (\alpha - 1, 2, -1)$$ Para que sean proporcionales, debe cumplirse: $$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{2}{-2} = \frac{-1}{1}$$ De la segunda y tercera fracción obtenemos: $$-1 = -1$$ Esto es una identidad, lo cual indica que la dirección en los ejes $y$ y $z$ ya es coincidente. Ahora igualamos la primera con la tercera: $$\alpha - 1 = -1 \implies \alpha = 0$$ 💡 **Tip:** Otra forma de verlo es que el rango de la matriz formada por los dos vectores debe ser 1. ✅ **Resultado (valor de $\alpha$):** $$\boxed{\alpha = 0}$$

Cuando $\alpha = 0$, los tres puntos están sobre la misma recta. Para escribir su ecuación, utilizamos el punto $P(1,1,0)$ y el vector director $\vec{PQ} = (1, -2, 1)$. Podemos expresarla en forma continua: $$t \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{1}$$ O de forma paramétrica: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 - 2\mu \\ z = \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta):** $$\boxed{t \equiv x-1 = \frac{y-1}{-2} = z}$$