Rango de matrices con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) El rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$. (3 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, empezamos calculando su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot a \cdot 3) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot (-1) \cdot (a^2 - 2)) - [ (3 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2)) + (2 \cdot (-1) \cdot 3) ]$$ $$|A| = 3a + 2 - 3(a^2 - 2) - [ 3a + a^2 - 2 - 6 ]$$ $$|A| = 3a + 2 - 3a^2 + 6 - [ 3a + a^2 - 8 ]$$ $$|A| = -3a^2 + 3a + 8 - 3a - a^2 + 8 = -4a^2 + 16$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezar por el determinante de la matriz completa es la forma más rápida de ver cuándo el rango es máximo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-4a^2 + 16 = 0 \implies 4a^2 = 16 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ Analizamos los casos: 1. **Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es igual a su dimensión. $$\text{rango}(A) = 3$$ 2. **Si $a = 2$**: La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Como la primera y tercera fila son iguales, $|A|=0$ y $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4 \neq 0$. Por tanto: $$\text{rango}(A) = 2$$ 3. **Si $a = -2$**: La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. De nuevo, $F_1 = F_3$, por lo que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-6) = 8 \neq 0$. Por tanto: $$\text{rango}(A) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 2 \text{ o } a = -2, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Una matriz $C$ tal que $AC = 16 I$, siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$. (4 puntos)** Si $a = 0$, el determinante es $|A| = -4(0)^2 + 16 = 16$. Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. De la ecuación $AC = 16I$, podemos despejar $C$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1}AC = A^{-1}(16I) \implies IC = 16A^{-1} \implies C = 16A^{-1}$$ Recordamos que $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. Sustituyendo: $$C = 16 \cdot \frac{1}{16} \text{Adj}(A)^T = \text{Adj}(A)^T$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular la inversa completa y luego multiplicar por 16. Basta con calcular la traspuesta de la matriz adjunta directamente.

Para $a=0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$. Calculamos los adjuntos $A_{ij}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 2$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(-3-1) = 4$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -(6+6) = -12$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2-2) = 4$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(1+3) = -4$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -12 & 0 & 4 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}$. Transponemos para obtener $C$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 2 & -12 & 2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}}$$

**c) El rango de la matriz $B$ y la discusión de si el sistema $B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ tiene solución. (3 puntos)** Primero, calculamos el producto matricial para obtener $B$. Es un producto de una matriz $(3 \times 1)$ por una $(1 \times 3)$, resultando en una $(3 \times 3)$: $$B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 1 & -1 \cdot 2 & -1 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$ Observamos las filas de $B$: $F_2 = -F_1$ $F_3 = 2F_1$ Como todas las filas son proporcionales a la primera y esta no es nula, el rango es 1. $$\boxed{\text{rango}(B) = 1}$$

Para discutir el sistema $B X = V$, donde $V = (1, -1, 2)^T$, analizamos la matriz ampliada $(B|V)$: $$(B|V) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & -3 & -1 \\ 2 & 4 & 6 & 2 \end{array}\right)$$ Estudiamos el rango de la matriz ampliada: - La fila 2 es la fila 1 multiplicada por $-1$: $F_2 = -F_1$. Esto se cumple tanto en la parte de la matriz $B$ como en el término independiente. - La fila 3 es la fila 1 multiplicada por $2$: $F_3 = 2F_1$. También se cumple para el término independiente. Por tanto, las filas 2 y 3 se pueden eliminar mediante combinaciones lineales elementales, quedando una única ecuación significativa: $$\text{rango}(B) = 1 \quad y \quad \text{rango}(B|V) = 1$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Como $\text{rango}(B) = \text{rango}(B|V) = 1$, el sistema es **Compatible**. - Como el rango ($1$) es menor que el número de incógnitas ($n=3$), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución (es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones)}}$$