Estudio completo de una función exponencial e integración

**a) El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (4 puntos)** Analizamos la estructura de $f(x) = xe^{1-x^2}$. Esta función es el producto de una función polinómica $g(x) = x$ y una función exponencial compuesta $h(x) = e^{1-x^2}$. Dado que los polinomios están definidos en todo $\mathbb{R}$ y la función exponencial $e^u$ está definida para cualquier valor real del exponente $u$, el dominio de $f(x)$ es todo el conjunto de los números reales. 💡 **Tip:** Las funciones exponenciales de tipo $e^{g(x)}$ tienen el mismo dominio que la función $g(x)$ situada en el exponente. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot e^{1-x^2} + x \cdot (e^{1-x^2})'$$ Calculamos la derivada del exponente usando la regla de la cadena: $(e^{1-x^2})' = e^{1-x^2} \cdot (-2x)$. Sustituimos: $$f'(x) = 1 \cdot e^{1-x^2} + x \cdot (-2x)e^{1-x^2}$$ $$f'(x) = e^{1-x^2} - 2x^2 e^{1-x^2}$$ Factorizamos $e^{1-x^2}$ para facilitar el estudio del signo: $$\boxed{f'(x) = (1 - 2x^2)e^{1-x^2}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$(1 - 2x^2)e^{1-x^2} = 0$$ Como $e^{1-x^2} \gt 0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la ecuación se reduce a: $$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\\hline 1-2x^2 & - & 0 & + & 0 & - \\ e^{1-x^2} & + & + & + & + & + \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** - **Decreciente:** $(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$ - **Creciente:** $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

A partir de la tabla anterior, identificamos los extremos sustituyendo los valores en la función original $f(x) = xe^{1-x^2}$: 1. **Mínimo relativo** en $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - (-1/\sqrt{2})^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - 1/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{1/2} = -\frac{\sqrt{2e}}{2}$$ 2. **Máximo relativo** en $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - (1/\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1/2} = \frac{\sqrt{2e}}{2}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2e}}{2}\right) \approx (-0.71, -1.17)}$$ $$\boxed{\text{Máximo: } \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2e}}{2}\right) \approx (0.71, 1.17)}$$

**b) Las asíntotas y la gráfica de $f$. (3 puntos)** **Asíntotas Verticales (AV):** Como el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{1-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2-1}}$$ Como el grado de crecimiento de una exponencial $e^{x^2}$ es mucho mayor que el de un polinomio $x$, el límite es $0$. También podemos usar la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2-1}} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x e^{x^2-1}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ De igual forma, para $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^{1-x^2} = 0$$ Por tanto, existe una **asíntota horizontal en $y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si existe AH, no puede haber AO en el mismo sentido del infinito.

Para dibujar la gráfica, unimos los datos obtenidos: - Pasa por el origen $(0,0)$, ya que $f(0) = 0 \cdot e^1 = 0$. - Es una función impar: $f(-x) = -xe^{1-(-x)^2} = -f(x)$, por lo que es simétrica respecto al origen. - Crece hasta el máximo y luego tiende a $0$ por el eje $X$. - Decrece hasta el mínimo y luego tiende a $0$ por el eje $X$.

Visualización de la función $f(x) = xe^{1-x^2}$ con sus extremos y asíntota horizontal.

**c) La integral $\int f(x) dx$. (3 puntos)** Debemos calcular $I = \int xe^{1-x^2} dx$. Observamos que la derivada del exponente $u = 1-x^2$ es $u' = -2x$, que es casi el factor $x$ que multiplica a la exponencial. Esto sugiere una **integral casi inmediata** o un cambio de variable. **Método de ajuste de constante:** Necesitamos un $-2$ dentro de la integral, por lo que multiplicamos y dividimos por $-2$: $$I = -\frac{1}{2} \int (-2x) e^{1-x^2} dx$$ Ahora la integral es de la forma $\int u' e^u du = e^u + C$: $$I = -\frac{1}{2} e^{1-x^2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre añadir la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int xe^{1-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{1-x^2} + C}$$