Posición relativa de rectas, parámetros en planos y volumen de tetraedro

**a) La posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (4 puntos)** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{d_r}$ de la recta $r$, dada en su forma implícita: $$r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}$$ Para el vector director, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{i}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = -1\vec{i} + 1\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{d_r} = (-1, 1, -2)$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $x = 0$: $$0 + y - 1 = 0 \implies y = 1$$ $$2(0) - z - 1 = 0 \implies z = -1$$ Luego, **$P_r(0, 1, -1)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por la intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Analizamos la recta $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$. De su forma continua extraemos: - Vector director: **$\vec{d_s} = (1, -1, 2)$** - Punto: **$P_s(1, 0, 0)$** **1. Comparación de vectores:** Observamos que $\vec{d_r} = (-1, 1, -2)$ y $\vec{d_s} = (1, -1, 2)$ son proporcionales, ya que $\vec{d_r} = -1 \cdot \vec{d_s}$. Esto indica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. **2. Comprobación de punto común:** Veamos si el punto $P_s(1, 0, 0)$ pertenece a la recta $r$ sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones implícitas de $r$: - $x + y - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$ (Se cumple) - $2x - z - 1 = 2(1) - 0 - 1 = 1 \neq 0$ (No se cumple) Como el punto de $s$ no pertenece a $r$, las rectas no pueden ser coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**b) El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi: x + my + z = 2$. (3 puntos)** Para que una recta $r$ esté contenida en un plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. 2. Un punto de la recta $P_r$ debe pertenecer al plano $\pi$. Usamos el punto $P_r(0, 1, -1)$ de la recta $r$ y lo sustituimos en la ecuación del plano: $$0 + m(1) + (-1) = 2$$ $$m - 1 = 2 \implies m = 3$$ Verificamos la ortogonalidad con $m = 3$. El vector normal del plano es $\vec{n_\pi} = (1, m, 1) = (1, 3, 1)$: $$\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = (-1, 1, -2) \cdot (1, 3, 1) = -1 + 3 - 2 = 0$$ Al ser el producto escalar cero, la recta es paralela o está contenida. Como el punto pertenece, está contenida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3}$$

**c) Los puntos $A, B, C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$, así como el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P(2,2,2)$. (3 puntos)** Con $m = 2$, el plano es $\pi: x + 2y + z = 2$. - **Punto A (Eje X):** Hacemos $y = 0, z = 0$: $$x + 2(0) + 0 = 2 \implies x = 2 \implies \mathbf{A(2, 0, 0)}$$ - **Punto B (Eje Y):** Hacemos $x = 0, z = 0$: $$0 + 2y + 0 = 2 \implies y = 1 \implies \mathbf{B(0, 1, 0)}$$ - **Punto C (Eje Z):** Hacemos $x = 0, y = 0$: $$0 + 2(0) + z = 2 \implies z = 2 \implies \mathbf{C(0, 0, 2)}$$ 💡 **Tip:** Las intersecciones con los ejes se hallan anulando las variables de los ejes que no buscamos.

Para hallar el volumen del tetraedro con vértices $A, B, C$ y $P(2, 2, 2)$, calculamos los vectores desde el vértice $A$: $$\vec{AB} = (0-2, 1-0, 0-0) = (-2, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = (0-2, 0-0, 2-0) = (-2, 0, 2)$$ $$\vec{AP} = (2-2, 2-0, 2-0) = (0, 2, 2)$$ El volumen es $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]|$. Calculamos el determinante (producto mixto): $$\text{Det} = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(0 - 4) - 1(-4 - 0) + 0 = 8 + 4 = 12$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |12| = 2 \text{ unidades cubicas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2); \text{Volumen} = 2 \text{ u}^3}$$