Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro m

**a) La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$. (4 puntos)** En primer lugar, escribimos las matrices asociadas al sistema: la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & -4 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & \mid & m \\ 1 & 1 & 3 & \mid & 0 \\ 5 & -4 & m & \mid & m \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & -4 & m \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 \cdot m) + (-1 \cdot 3 \cdot 5) + (1 \cdot 1 \cdot (-4)) - [ (5 \cdot 1 \cdot 1) + (-4 \cdot 3 \cdot 2) + (m \cdot 1 \cdot (-1)) ]$$ $$|A| = (2m - 15 - 4) - (5 - 24 - m) = 2m - 19 - (-19 - m) = 2m - 19 + 19 + m = 3m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = 0 \iff 3m = 0 \iff m = 0$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o no. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es máximo.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius analizando los casos posibles: **Caso 1: $m \neq 0$** Si $m \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y hay 3 incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $m = 0$** Si $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como la última columna de $A^*$ es de ceros (sistema homogéneo en este caso), añadirla no aumenta el rango, por lo que $\text{rang}(A^*) = 2$. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 = \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0 \rightarrow \text{SCD; Si } m = 0 \rightarrow \text{SCI}}$$

**b) La solución del sistema cuando $m = 1$. (3 puntos)** Si $m=1$, el sistema es compatible determinado ($|A| = 3 \cdot 1 = 3$). Resolvemos mediante la regla de Cramer: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{(1-3+0) - (1-12+0)}{3} = \frac{-2 - (-11)}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{(0+15+1) - (0+6+1)}{3} = \frac{16 - 7}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{(2+0-4) - (5+0-1)}{3} = \frac{-2 - 4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la regla de Cramer, la columna de términos independientes sustituye a la columna de la incógnita que queremos calcular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 3, y = 3, z = -2}$$

**c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)** El sistema es SCI cuando $m = 0$. El sistema original queda: $$\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, que es combinación lineal de las otras) y usar un parámetro. Tomamos las dos primeras y hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} 2x - y = -\lambda \\ x + y = -3\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$3x = -4\lambda \implies x = -\frac{4}{3}\lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$y = -3\lambda - x = -3\lambda - (-\frac{4}{3}\lambda) = -\frac{9}{3}\lambda + \frac{4}{3}\lambda = -\frac{5}{3}\lambda$$ Para evitar fracciones, podemos redefinir el parámetro como $\lambda = 3k$: $$x = -4k, \quad y = -5k, \quad z = 3k \quad \forall k \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{4}{3}\lambda, -\frac{5}{3}\lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$