Probabilidad Total y Teorema de Bayes con Urnas

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos implicados en el experimento aleatorio: * $U_1$: Elegir la primera bolsa. * $U_2$: Elegir la segunda bolsa. * $B$: La bola extraída es blanca. * $N$: La bola extraída es negra. Como elegimos una bolsa al azar, las probabilidades de elegir cada una son iguales: $$P(U_1) = \dfrac{1}{2}, \quad P(U_2) = \dfrac{1}{2}$$ Analizamos la composición de cada bolsa para obtener las probabilidades condicionadas: * **Bolsa 1 (4N, 2B):** Total 6 bolas. $P(B|U_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ y $P(N|U_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. * **Bolsa 2 (2N, 6B):** Total 8 bolas. $P(B|U_2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ y $P(N|U_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) Calcular la probabilidad de que la bola sea blanca.** Para calcular la probabilidad total de extraer una bola blanca, sumamos las probabilidades de los caminos que terminan en blanca. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(B) = P(U_1) \cdot P(B|U_1) + P(U_2) \cdot P(B|U_2)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(B) = \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{6} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{8} \right)$$ $$P(B) = \dfrac{2}{12} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{8}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de 6 y 8 ($mcm(6, 8) = 24$): $$P(B) = \dfrac{4}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{13}{24}$$ Como decimal: $P(B) \approx 0.5417$. 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = \dfrac{13}{24}}$$

**b) Sabiendo que la bola es blanca, calcular la probabilidad de que sea de la primera bolsa.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(U_1|B)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(U_1|B) = \dfrac{P(U_1 \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(U_1) \cdot P(B|U_1)}{P(B)}$$ Ya conocemos el numerador (camino de la bolsa 1 y blanca) y el denominador (probabilidad total de blanca calculada en el apartado anterior): * $P(U_1 \cap B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$ * $P(B) = \dfrac{13}{24}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(U_1|B) = \dfrac{1/6}{13/24}$$ Operamos la división de fracciones: $$P(U_1|B) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{24}{13} = \dfrac{24}{78} = \dfrac{4}{13}$$ Como decimal: $P(U_1|B) \approx 0.3077$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una "causa" (bolsa) dado que ya conocemos el "efecto" (la bola es blanca). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U_1|B) = \dfrac{4}{13}}$$