Distribución normal: Duración de máquinas de aire acondicionado

Primero, definimos la variable aleatoria que describe el problema. Sea $X$ la duración en años de un modelo de máquina de aire acondicionado. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 20$ y desviación típica $\sigma = 5$. Por tanto: $$X \sim N(20, 5)$$ Para poder realizar cálculos utilizando las tablas de la normal, debemos tipificar la variable utilizando la transformación $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z$ sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite convertir cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$ en una $N(0, 1)$ para buscar las probabilidades en las tablas estándar.

**a) ¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?** La garantía cubre un periodo de 25 años. Una máquina **no cumple** la garantía si su duración es inferior a ese tiempo, es decir, si $X \lt 25$. Tipificamos el valor $x = 25$: $$P(X \lt 25) = P\left(Z \lt \frac{25 - 20}{5}\right) = P\left(Z \lt \frac{5}{5}\right) = P(Z \lt 1)$$ Buscamos el valor correspondiente a $1.00$ en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \lt 1) = 0.8413$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos la probabilidad obtenida por 100: $$\text{Porcentaje} = 0.8413 \cdot 100 = 84.13\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{84.13\%}$$

**b) ¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 15 y 21 años?** Debemos calcular la probabilidad de que la variable $X$ se encuentre en el intervalo $[15, 21]$, es decir, $P(15 \le X \le 21)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo: - Para $x_1 = 15 \implies z_1 = \frac{15 - 20}{5} = -1$ - Para $x_2 = 21 \implies z_2 = \frac{21 - 20}{5} = 0.2$ La probabilidad solicitada es: $$P(15 \le X \le 21) = P(-1 \le Z \le 0.2)$$ Calculamos esta probabilidad restando el área acumulada: $$P(-1 \le Z \le 0.2) = P(Z \le 0.2) - P(Z \le -1)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, sabemos que $P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1)$. Sustituimos: $$P(Z \le 0.2) - [1 - P(Z \le 1)]$$ Consultamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 0.2) = 0.5793$ - $P(Z \le 1) = 0.8413$ Operamos: $$0.5793 - (1 - 0.8413) = 0.5793 - 0.1587 = 0.4206$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad en un intervalo $[a, b]$ siempre se calcula como $P(Z \le b) - P(Z \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.4206}$$