Recta que pasa por un punto y corta perpendicularmente a otra

**8.– (2 puntos) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $P(2, -1, 1)$ y corta perpendicularmente a la recta $r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z$.** En primer lugar, extraemos de la ecuación continua de la recta $r$ un punto $A$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto $A(2, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v_r} = (2, 2, 1)$ Para que una recta $s$ pase por $P$ y corte perpendicularmente a $r$, debe pasar por $P$ y por el punto de $r$ más cercano a $P$ (la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$). 💡 **Tip:** Una recta está determinada por un punto y un vector, o por dos puntos. En este caso, buscaremos un segundo punto $Q$ en la recta $r$ tal que el vector $\vec{PQ}$ sea perpendicular a $\vec{v_r}$.

Para encontrar el punto de intersección $Q$, utilizaremos un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $P(2, -1, 1)$. Si el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, el vector director de la recta será el vector normal del plano: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (2, 2, 1)$$ La ecuación general del plano será de la forma $2x + 2y + z + D = 0$. Como debe pasar por $P(2, -1, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(2) + 2(-1) + 1 + D = 0 \implies 4 - 2 + 1 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ Por tanto, el plano auxiliar es: $$\pi \equiv 2x + 2y + z - 3 = 0$$

El punto $Q$ donde la recta buscada corta a $r$ es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Expresamos $r$ en ecuaciones paramétricas para facilitar el cálculo: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(2 + 2\lambda) + 2(1 + 2\lambda) + \lambda - 3 = 0$$ $$4 + 4\lambda + 2 + 4\lambda + \lambda - 3 = 0$$ $$9\lambda + 3 = 0 \implies 9\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$$ Ahora hallamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda$: - $x = 2 + 2(-1/3) = 4/3$ - $y = 1 + 2(-1/3) = 1/3$ - $z = -1/3$ El punto de corte es $\boxed{Q\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)}$.

La recta $s$ que buscamos es la que pasa por $P(2, -1, 1)$ y $Q(4/3, 1/3, -1/3)$. Su vector director $\vec{v_s}$ será el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{v_s} = \vec{PQ} = Q - P = \left(\frac{4}{3} - 2, \frac{1}{3} - (-1), -\frac{1}{3} - 1\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{4}{3}\right)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional multiplicando por $-\frac{3}{2}$: $$\vec{d_s} = (1, -2, 2)$$ Finalmente, escribimos las ecuaciones de la recta $s$ (por ejemplo, en forma continua): $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases} \quad \text{o} \quad \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 1}{2}}$$