Ecuación de una recta contenida en un plano y perpendicular a otra

**7.– (2 puntos) Hallar la ecuación de una recta, tal que: a) pasa por el punto $P(0, 1, 1)$, b) está contenida en el plano $\pi \equiv x + y + 3z - 4 = 0$, c) es perpendicular a la recta $r \equiv \begin{cases} x = z + 3, \\ y = -z + 4. \end{cases}$** Sea $s$ la recta que buscamos. Para definir una recta en el espacio necesitamos un punto y un vector director. El punto ya lo tenemos: **$P(0, 1, 1)$**. Analizamos la condición de estar contenida en el plano: Si la recta $s$ está contenida en el plano $\pi$, su vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. De la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + 3z - 4 = 0$, extraemos el vector normal: $$\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $(A, B, C)$. Si una recta está contenida en un plano (o es paralela a él), su vector director es perpendicular al normal del plano.

Analizamos la condición de perpendicularidad: La recta $s$ debe ser perpendicular a la recta $r$. Por tanto, el vector director de nuestra recta $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector director de $r$, al que llamaremos $\vec{v_r}$. Para obtener $\vec{v_r}$, pasamos la recta $r$ a ecuaciones paramétricas haciendo $z = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 4 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí, el vector director de $r$ es: $$\vec{v_r} = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones paramétricas $\{x = x_0 + a\lambda, y = y_0 + b\lambda, z = z_0 + c\lambda\}$, el vector director es $(a, b, c)$.

Como el vector director buscado $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$ y a $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$, podemos calcularlo mediante el **producto vectorial** de ambos: $$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (desarrollando por la primera fila): $$\vec{v_s} = \vec{i} \cdot (1 - (-3)) - \vec{j} \cdot (1 - 3) + \vec{k} \cdot (-1 - 1)$$ $$\vec{v_s} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v_s} = (4, 2, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo entre $2$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{v_s} = (2, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos vectores originales.

Ya disponemos del punto $P(0, 1, 1)$ y el vector director $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$. Podemos expresar la recta $s$ en su forma continua: $$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$$ O de forma más limpia: $$\frac{x}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{-1}$$ También podemos darla en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv \frac{x}{2} = y - 1 = 1 - z}$$