Propiedades de los determinantes

**6.– (2 puntos) Sabiendo que $|A| = 1$, calcular el determinante de la matriz $B$.** Para calcular $|B|$, aplicaremos las propiedades de los determinantes de forma sucesiva para transformar la matriz $B$ en la matriz $A$ o una variante conocida. $$|B| = \begin{vmatrix} x & y & z \\ x + 1 & y + 1 & z + 1 \\ 2(x + a) & 2(y + b) & 2(z + c) \end{vmatrix}$$ **1. Extraer factor común de una fila:** Si todos los elementos de una fila están multiplicados por un número, este puede salir fuera del determinante. Extraemos el factor $2$ de la tercera fila ($F_3$): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ x + 1 & y + 1 & z + 1 \\ x + a & y + b & z + c \end{vmatrix}$$ **2. Restar filas entre sí:** El valor de un determinante no varía si a una fila le sumamos o restamos otra multiplicada por un número. Restamos la primera fila a la segunda ($F_2 \to F_2 - F_1$): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ (x+1) - x & (y+1) - y & (z+1) - z \\ x + a & y + b & z + c \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x + a & y + b & z + c \end{vmatrix}$$ **3. Repetimos la operación:** Restamos la primera fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_1$): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ (x+a) - x & (y+b) - y & (z+c) - z \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Estas operaciones elementales por filas son la herramienta principal para simplificar determinantes sin recurrir a Sarrus directamente.

Ahora que tenemos una matriz muy similar a $A$, debemos reordenar las filas. **4. Intercambiar dos filas:** Si se intercambian dos filas entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la segunda fila con la tercera ($F_2 \leftrightarrow F_3$): $$|B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que el determinante resultante es exactamente $|A|$. Como el enunciado nos dice que $|A| = 1$: $$|B| = -2 \cdot |A| = -2 \cdot 1 = -2$$ ✅ **Resultado del primer apartado:** $$\boxed{|B| = -2}$$

**Calcular $|4B^{-1}A^T|^2$.** Para resolver esta parte, utilizaremos las propiedades de las operaciones con determinantes. Sea $M = 4B^{-1}A^T$, queremos calcular $|M|^2$. Primero, recordamos las propiedades necesarias: 1. **Producto:** $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. **Escalar por matriz:** Si $M$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot M| = k^n |M|$. En este caso, $A$ y $B$ son matrices $3 \times 3$, por lo que $n = 3$. 3. **Inversa:** $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$. 4. **Traspuesta:** $|M^T| = |M|$. Calculamos primero el determinante del interior, $|4B^{-1}A^T|$: $$|4B^{-1}A^T| = 4^3 \cdot |B^{-1}A^T| = 64 \cdot |B^{-1}| \cdot |A^T|$$ Sustituimos los valores conocidos ($|A|=1$ y $|B|=-2$): $$|4B^{-1}A^T| = 64 \cdot \frac{1}{|B|} \cdot |A| = 64 \cdot \left(\frac{1}{-2}\right) \cdot 1 = 64 \cdot (-0,5) = -32$$ Finalmente, elevamos al cuadrado según pide el enunciado: $$|4B^{-1}A^T|^2 = (-32)^2 = 1024$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz ($4^3$ y no $4$). Es un error muy común en exámenes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|4B^{-1}A^T|^2 = 1024}$$