Sistema de ecuaciones matriciales e inversa de un producto

**5.– (2 puntos) Hallar $A$ y $B$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:** Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas matriciales ($A$ y $B$). Podemos resolverlo utilizando el método de reducción (suma y resta), tratándolo igual que un sistema con números reales. El sistema es: $$\begin{cases} (1) \quad 3A - 5B = C \\ (2) \quad -A + 3B = D \end{cases}$$ Para eliminar $A$, multiplicamos la ecuación (2) por 3: $$3 \cdot (-A + 3B = D) \implies -3A + 9B = 3D$$ Ahora sumamos esta nueva ecuación con la (1): $$(3A - 5B) + (-3A + 9B) = C + 3D$$ $$4B = C + 3D \implies B = \frac{1}{4}(C + 3D)$$ 💡 **Tip:** En sistemas matriciales, podemos operar con las matrices como si fueran variables algebraicas, siempre que respetemos el orden en el producto de matrices (aunque aquí solo hay sumas y productos por escalares).

Calculamos primero la combinación lineal $C + 3D$: $$C + 3D = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$C + 3D = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 0 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 16 & 4 \\ -4 & 8 \end{pmatrix}$$ Ahora despejamos $B$ dividiendo por 4: $$B = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 16 & 4 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para B:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A$, podemos despejar de la ecuación (2): $$-A + 3B = D \implies A = 3B - D$$ Sustituimos la matriz $B$ que acabamos de calcular y la matriz $D$ del enunciado: $$A = 3 \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 12 & 3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para A:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}}$$

**Determinar la matriz inversa de $C^T D$, donde $C^T$ es la matriz traspuesta de $C$.** Primero obtenemos $C^T$ (cambiando filas por columnas): $$C = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \implies C^T = \begin{pmatrix} 2 & 7 & -1 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $M = C^T D$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 7 & -1 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento $m_{11} = 2(2) + 7(3) + (-1)(-1) = 4 + 21 + 1 = 26$ - Elemento $m_{12} = 2(4) + 7(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6$ - Elemento $m_{21} = -4(2) + 4(3) + 2(-1) = -8 + 12 - 2 = 2$ - Elemento $m_{22} = -4(4) + 4(0) + 2(2) = -16 + 0 + 4 = -12$ $$M = C^T D = \begin{pmatrix} 26 & 6 \\ 2 & -12 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Sea $M = \begin{pmatrix} 26 & 6 \\ 2 & -12 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante: $$|M| = (26)(-12) - (6)(2) = -312 - 12 = -324$$ Como $|M| \neq 0$, existe $M^{-1}$. Usamos la fórmula para la inversa de una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$: $$(C^T D)^{-1} = \frac{1}{-324} \begin{pmatrix} -12 & -6 \\ -2 & 26 \end{pmatrix}$$ Simplificamos los elementos de la matriz dividiendo por $-324$: - $m^{-1}_{11} = \frac{-12}{-324} = \frac{1}{27}$ - $m^{-1}_{12} = \frac{-6}{-324} = \frac{1}{54}$ - $m^{-1}_{21} = \frac{-2}{-324} = \frac{1}{162}$ - $m^{-1}_{22} = \frac{26}{-324} = -\frac{13}{162}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(C^T D)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{27} & \frac{1}{54} \\ \frac{1}{162} & -\frac{13}{162} \end{pmatrix}}$$