Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

Para discutir el sistema según el parámetro $a$, empezamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 0 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 2 & a & 0 & -1 \\ a & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ El estudio del sistema se basará en comparar los rangos de estas matrices mediante el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado (SCD). Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado (SCI). Si $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, es incompatible (SI).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 0 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot a) + (a \cdot 2 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = a + 0 + 2a - a^3 - 0 - 2 = -a^3 + 3a - 2$$ Para hallar los valores críticos de $a$, igualamos el determinante a cero: $$-a^3 + 3a - 2 = 0$$ Probamos raíces enteras (divisores de 2). Observamos que $a=1$ es raíz: $-(1)^3 + 3(1) - 2 = 0$. Aplicamos la regla de Ruffini para factorizar: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 1 & & -1 & -1 & 2 \\ \hline & -1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$$ La ecuación resultante es $-(a-1)(a^2+a-2) = 0$. Resolvemos $a^2+a-2=0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a=1, \; a=-2$$ Por tanto, las raíces son **$a = 1$** (doble) y **$a = -2$**. $$\boxed{|A| = -(a-1)^2(a+2)}$$

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para los diferentes valores de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = \text{nº incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$). El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Como $F_1 = F_3$ en toda la matriz ampliada, $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$, luego $\text{rang}(A) = 2$. Calculamos el determinante de un menor $3 \times 3$ de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2+2+2) - (4-1+2) = 2 - 5 = -3 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Resolución para $a \neq 1, -2$ (SCD):** Utilizamos la regla de Cramer. El determinante es $|A| = -(a-1)^2(a+2)$. $|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ -1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a - a^2 - (-a + 1) = -a^2 + 1 = -(a-1)(a+1)$ $x = \frac{-(a-1)(a+1)}{-(a-1)^2(a+2)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+2)}$ $|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & -1 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 2a) - (-a^2 + 2) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1)$ $y = \frac{(a-1)(a+3)}{-(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a+3}{(a-1)(a+2)}$ $|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & -1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a-a+2) - (a^2-1+2) = 2 - a^2 - 1 = 1-a^2 = -(a-1)(a+1)$ $z = \frac{-(a-1)(a+1)}{-(a-1)^2(a+2)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+2)}$ **Resolución para $a = 1$ (SCI):** El sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y = -1 \end{cases}$$ Tomamos $x = \lambda$. De la segunda ecuación: $y = -1 - 2\lambda$. Sustituimos en la primera: $\lambda + (-1 - 2\lambda) + z = 1 \implies z = 2 + \lambda$. ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{a+1}{(a-1)(a+2)}, \; y = \frac{-(a+3)}{(a-1)(a+2)}, \; z = \frac{a+1}{(a-1)(a+2)}}$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(\lambda, -1-2\lambda, 2+\lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para $a = 0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Determinante: $|A| = -2$ (calculado en el paso 2 con $a=0$). 2. Matriz de cofactores $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Matriz inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ -1 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No olvides trasponer la matriz de adjuntos para aplicar la fórmula de la inversa. ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}}$$