Área del recinto limitado por una función racional

Para calcular el área del recinto limitado por $f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}$, el eje OX ($y=0$) y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 5$, primero debemos comprobar si la función corta al eje OX en el intervalo $[0, 5]$. Buscamos los puntos de corte con el eje OX: $$f(x) = 0 \implies \frac{x + 3}{(x + 2)^2} = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$$ Como $x = -3$ no pertenece al intervalo $[0, 5]$, la función no cambia de signo en dicho intervalo. Además, para cualquier valor $x \in [0, 5]$, observamos que: - El numerador $x + 3$ es positivo ($x + 3 > 0$). - El denominador $(x + 2)^2$ siempre es positivo por estar elevado al cuadrado. Por tanto, $f(x) > 0$ en todo el intervalo $[0, 5]$, y el área vendrá dada directamente por la integral definida: $$A = \int_{0}^{5} \frac{x + 3}{(x + 2)^2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función tuviera raíces dentro del intervalo, deberíamos dividir la integral en varios recintos y sumar sus valores absolutos.

Calculamos primero la integral indefinida de la función racional $f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}$. Podemos descomponer la fracción de forma sencilla observando que el numerador se puede escribir en función del denominador: $$x + 3 = (x + 2) + 1$$ Entonces: $$\int \frac{x + 3}{(x + 2)^2} \, dx = \int \left( \frac{x + 2}{(x + 2)^2} + \frac{1}{(x + 2)^2} \right) \, dx = \int \frac{1}{x + 2} \, dx + \int (x + 2)^{-2} \, dx$$ Resolvemos ambas integrales inmediatas: 1. $\int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x + 2|$ 2. $\int (x + 2)^{-2} \, dx = \frac{(x + 2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x + 2}$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = \ln|x + 2| - \frac{1}{x + 2} + C$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado el método de descomposición en fracciones simples: $\frac{x+3}{(x+2)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2}$, lo que te daría $A=1$ y $B=1$.

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral entre los límites $x = 0$ y $x = 5$: $$A = \left[ \ln|x + 2| - \frac{1}{x + 2} \right]_{0}^{5}$$ Sustituimos el límite superior ($x = 5$): $$F(5) = \ln|5 + 2| - \frac{1}{5 + 2} = \ln 7 - \frac{1}{7}$$ Sustituimos el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = \ln|0 + 2| - \frac{1}{0 + 2} = \ln 2 - \frac{1}{2}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(5) - F(0) = \left( \ln 7 - \frac{1}{7} \right) - \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right)$$ $$A = \ln 7 - \ln 2 - \frac{1}{7} + \frac{1}{2}$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$) y operando las fracciones ($\frac{1}{2} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 2}{14} = \frac{5}{14}$): $$A = \ln \left( \frac{7}{2} \right) + \frac{5}{14}$$ Si calculamos el valor aproximado: $$A \approx 1.2528 + 0.3571 \approx 1.61 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \ln \left( \dfrac{7}{2} \right) + \dfrac{5}{14} \text{ u}^2}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función y el área del recinto calculado. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x+3}{(x+2)^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le 5\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "line1", "latex": "x=0", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "line2", "latex": "x=5", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 7, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }