Cálculo de la función primitiva y recta tangente

**Hallar la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x = 0$.** Para obtener la expresión de $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos integrar cada una de las ramas de la función: 1. Para $x \lt 0$: $$f(x) = \int (x+1) \, dx = \frac{x^2}{2} + x + C_1$$ 2. Para $x \ge 0$: $$f(x) = \int e^x \, dx = e^x + C_2$$ Por tanto, la función $f(x)$ tiene la siguiente forma provisional: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2} + x + C_1 & \text{si } x \lt 0 \\ e^x + C_2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al integrar una función a trozos, cada rama genera su propia constante de integración ($C_1, C_2$). Estas constantes se relacionarán mediante la condición de continuidad.

El enunciado establece que $f$ es una **función continua** en todo su dominio, lo que implica que debe haber continuidad en el punto de salto entre ramas, $x = 0$. Para que esto ocurra, los límites laterales deben coincidir: - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{x^2}{2} + x + C_1 \right) = C_1$$ - Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = e^0 + C_2 = 1 + C_2$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$C_1 = 1 + C_2$$ Definiendo una única constante $K = C_2$, entonces $C_1 = K + 1$. Sustituimos en la expresión de la función: $$\boxed{f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2} + x + K + 1 & \text{si } x \lt 0 \\ e^x + K & \text{si } x \ge 0 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Hablamos de una "familia de funciones" porque para cada valor de $K \in \mathbb{R}$ obtenemos una función $f$ distinta que cumple las condiciones dadas.

Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x=0$, necesitamos el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Pendiente ($m$):** Es el valor de la derivada en el punto. Usamos la expresión de $f'(x)$: $$f'(0) = e^0 = 1$$ (Nota: La derivada existe en $x=0$ porque $f'(0^-) = 0+1 = 1$ y $f'(0^+) = e^0 = 1$). 2. **Punto de tangencia:** Necesitamos la coordenada $y$ en $x=0$: $$y_0 = f(0) = e^0 + K = 1 + K$$ El punto es $P(0, 1+K)$. 3. **Ecuación de la recta:** Aplicamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - (1 + K) = 1 \cdot (x - 0)$$ $$y = x + 1 + K$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = x + K + 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Al ser $f$ una familia de funciones, la recta tangente también depende del parámetro $K$.