Dominio y asíntotas de una función exponencial

Para determinar el dominio de $f(x) = xe^{1/x^3}$, analizamos sus componentes: 1. El factor $x$ es un polinomio, definido para todo $x \in \mathbb{R}$. 2. La función exponencial $e^u$ está definida para cualquier valor de $u$. 3. El exponente $u = \frac{1}{x^3}$ es una función racional que no está definida cuando el denominador es cero. Resolvemos la ecuación del denominador: $$x^3 = 0 \implies x = 0.$$ Por tanto, el dominio de la función es todos los números reales excepto el cero. 💡 **Tip:** En funciones con potencias o fracciones en el exponente, el dominio de la función coincide con el dominio del exponente. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida. Estudiamos el comportamiento de $f(x)$ cuando $x \to 0$ calculando los límites laterales: **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} xe^{1/x^3}$$ Si $x \to 0^+$, entonces $\frac{1}{x^3} \to +\infty$. Esto genera una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$. Para resolverlo, reescribimos el límite y aplicamos la regla de L'Hôpital tras un cambio de variable $t = 1/x^3$ (cuando $x \to 0^+$, $t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} t^{-1/3} e^t = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t^{1/3}} = \frac{\infty}{\infty}$$ Aplicando L'Hôpital (o por comparación de órdenes de infinitos, ya que la exponencial crece más rápido que cualquier potencia): $$\lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{\frac{1}{3}t^{-2/3}} = \lim_{t \to +\infty} 3 t^{2/3} e^t = +\infty.$$ **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} xe^{1/x^3}$$ Si $x \to 0^-$, entonces $\frac{1}{x^3} \to -\infty$. Por lo tanto, $e^{1/x^3} \to e^{-\infty} = 0$. $$\lim_{x \to 0^-} x \cdot 0 = 0.$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{\text{AV: } x = 0}$$

Para buscar asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} xe^{1/x^3}$$ Cuando $x \to \pm\infty$, el término $\frac{1}{x^3} \to 0$. Entonces $e^{1/x^3} \to e^0 = 1$. Por lo tanto: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{1/x^3} = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} xe^{1/x^3} = (-\infty) \cdot 1 = -\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite en el infinito es $\pm\infty$, no existe asíntota horizontal, pero podría existir una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas horizontales}}$$

Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. **Cálculo de la pendiente ($m$):** $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{xe^{1/x^3}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} e^{1/x^3} = e^0 = 1.$$ La pendiente es $m = 1$. **Cálculo de la ordenada en el origen ($n$):** $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (xe^{1/x^3} - x) = \lim_{x \to \pm\infty} x(e^{1/x^3} - 1)$$ Tenemos una indeterminación $\infty \cdot 0$. Usamos el cambio de variable $u = 1/x$ (cuando $x \to \pm\infty$, $u \to 0$): $$n = \lim_{u \to 0} \frac{e^{u^3} - 1}{u} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador respecto a $u$: $$n = \lim_{u \to 0} \frac{3u^2 e^{u^3}}{1} = 3(0)^2 e^0 = 0.$$ Por tanto, existe una asíntota oblicua tanto en $+\infty$ como en $-\infty$ con ecuación $y = 1x + 0$. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{\text{AO: } y = x}$$