Probabilidad y Estadística 2021 La Rioja
Probabilidad de ir de cena tras un evento cultural
10.- (2 puntos) Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades 0,5, 0,2 y 0,3. El 60 % de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el 10 % de las veces que va al teatro y el 90 % de las que va de concierto.
a) ¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?.
b) Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales basados en la actividad cultural a la que asiste Sofía y si posteriormente se va de cena.
**Sucesos culturales:**
- $T$: Ir al teatro.
- $Ci$: Ir al cine.
- $Co$: Ir al concierto.
**Sucesos posteriores:**
- $D$: Ir de cena con amigos.
- $\bar{D}$: No ir de cena (volver a casa).
Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de ir de cena
**a) ¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?.**
Para calcular la probabilidad de que se vaya de cena, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso $D$:
$$P(D) = P(T) \cdot P(D|T) + P(Ci) \cdot P(D|Ci) + P(Co) \cdot P(D|Co)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = (0,5 \cdot 0,1) + (0,2 \cdot 0,6) + (0,3 \cdot 0,9)$$
$$P(D) = 0,05 + 0,12 + 0,27 = 0,44$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos iniciales ($T, Ci, Co$) debe ser $1$. En este caso: $0,5 + 0,2 + 0,3 = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,44}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada: ¿Haya ido al cine si vuelve a casa?
**b) Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?.**
Nos piden calcular la probabilidad de haber ido al cine sabiendo que no se fue de cena (volvió a casa), es decir, $P(Ci | \bar{D})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**.
Primero, calculamos la probabilidad de no ir de cena:
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,44 = 0,56$$
Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (ir al cine y no ir de cena):
$$P(Ci \cap \bar{D}) = P(Ci) \cdot P(\bar{D}|Ci)$$
Como $P(D|Ci) = 0,6$, entonces $P(\bar{D}|Ci) = 1 - 0,6 = 0,4$. Por tanto:
$$P(Ci \cap \bar{D}) = 0,2 \cdot 0,4 = 0,08$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada:
$$P(Ci | \bar{D}) = \frac{P(Ci \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{0,08}{0,56}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(Ci | \bar{D}) = \frac{8}{56} = \frac{1}{7} \approx 0,1429$$
💡 **Tip:** Cuando una pregunta comienza con un "Si..." (condición conocida), casi siempre estaremos ante un problema de probabilidad condicionada o Bayes.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Ci | \bar{D}) = \frac{1}{7} \approx 0,1429}$$