Distribución normal y estimación de frecuencias

**¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar?** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo (en minutos) que tarda una persona en llegar a su trabajo. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(20, \sigma)$$ Para trabajar con la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, debemos realizar la **tipificación** de la variable. 💡 **Tip:** Recuerda que para transformar una variable normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utilizamos la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Utilizamos el dato del 84,1% para hallar el valor de $\sigma$. Sabemos que: $$P(X \lt 22) = 0,841$$ Tipificamos el valor $X = 22$: $$P\left(Z \lt \frac{22 - 20}{\sigma}\right) = 0,841 \implies P\left(Z \lt \frac{2}{\sigma}\right) = 0,841$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ qué valor de $z$ deja por debajo de sí una probabilidad de $0,841$. Observamos que: $$P(Z \lt 1) = 0,8413 \approx 0,841$$ Por tanto, igualamos: $$\frac{2}{\sigma} = 1 \implies \sigma = 2$$ $$\boxed{\sigma = 2 \text{ minutos}}$$

Ahora que conocemos todos los parámetros de la distribución, $X \sim N(20, 2)$, calculamos la probabilidad de que el tiempo sea inferior a 18 minutos: $P(X \lt 18)$. Tipificamos $X = 18$: $$P(X \lt 18) = P\left(Z \lt \frac{18 - 20}{2}\right) = P(Z \lt -1)$$ Como la distribución es simétrica y los valores de la tabla son para $z$ positivos: $$P(Z \lt -1) = P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Sustituimos el valor de $P(Z \le 1) = 0,841$ que ya conocemos: $$P(X \lt 18) = 1 - 0,841 = 0,159$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, por simetría, el área a la izquierda de un valor negativo es igual al área a la derecha de su valor positivo correspondiente: $P(Z \lt -k) = P(Z \gt k)$.

Para estimar el número de días durante el año (con un total de $n = 290$ días) que tardará menos de 18 minutos, multiplicamos el número total de días por la probabilidad obtenida: $$E = n \cdot p = 290 \cdot 0,159$$ Calculamos el resultado: $$290 \cdot 0,159 = 46,11$$ Redondeando al número entero más cercano, podemos estimar que ocurrirá en unos 46 días. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{46 \text{ días}}$$