Intersección de rectas en el espacio con parámetro

**8.- (2 puntos) Calcular el valor del parámetro real $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten y calcular este punto.** Para que dos rectas en el espacio se corten en un único punto, deben cumplirse dos condiciones: 1. Las rectas **no deben ser paralelas** (sus vectores directores no son proporcionales). 2. Las rectas deben ser **coplanarias** (el sistema formado por las cuatro ecuaciones de los planos que definen las rectas debe tener solución única). En términos matriciales, si representamos las rectas como un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas ($x, y, z$): $$\begin{cases} 4x + 0y + z = a \\ x + y + 0z = 2 \\ x + y + z = 0 \\ x + 0y + 2z = 2a \end{cases}$$ Para que las rectas se corten, el rango de la matriz de coeficientes ($A$) debe ser 3 y el rango de la matriz ampliada ($A'$) también debe ser 3. 💡 **Tip:** Si el rango de $A$ es 3 y el determinante de la matriz ampliada $A'$ es 0, el sistema es compatible determinado y las rectas se cortan en un punto.

Calculamos los vectores directores de cada recta mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que las definen. Para la recta $r$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{r1} \times \vec{n}_{r2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = (0\cdot 0 - 1\cdot 1)\vec{i} - (4\cdot 0 - 1\cdot 1)\vec{j} + (4\cdot 1 - 0\cdot 1)\vec{k} = -1\vec{i} + 1\vec{j} + 4\vec{k} = (-1, 1, 4)$$ Para la recta $s$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_{s1} \times \vec{n}_{s2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = (1\cdot 2 - 1\cdot 0)\vec{i} - (1\cdot 2 - 1\cdot 1)\vec{j} + (1\cdot 0 - 1\cdot 1)\vec{k} = 2\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (2, -1, -1)$$ **Comprobación de paralelismo:** Comparamos sus componentes: $\frac{-1}{2} \neq \frac{1}{-1} \neq \frac{4}{-1}$. Como los vectores directores **no son proporcionales**, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por tanto, o se cortan o se cruzan.

Para que se corten, las rectas deben estar en el mismo plano. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz ampliada $A'$ del sistema es cero. $$A' = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 & a \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2a \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A'|$ realizando operaciones elementales para simplificar: Hacemos $F_3 - F_2 \to F_3$: $$|A'| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 & a \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 & 2a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda columna (que tiene tres ceros): $$|A'| = 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & a \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2a \end{vmatrix}$$ Calculamos este determinante de orden 3 por Sarrus: $$|A'| = [4 \cdot 1 \cdot 2a + 1 \cdot (-2) \cdot 1 + a \cdot 0 \cdot 2] - [1 \cdot 1 \cdot a + 2 \cdot (-2) \cdot 4 + 2a \cdot 0 \cdot 1]$$ $$|A'| = (8a - 2 + 0) - (a - 16 + 0) = 8a - 2 - a + 16 = 7a + 14$$ Para que el sistema sea compatible (las rectas se toquen): $$7a + 14 = 0 \implies 7a = -14 \implies \mathbf{a = -2}$$ ✅ **Resultado (parámetro):** $$\boxed{a = -2}$$

Sustituimos $a = -2$ en el sistema original y resolvemos para hallar el punto de intersección $P(x, y, z)$: $$\begin{cases} (1) \quad 4x + z = -2 \\ (2) \quad x + y = 2 \\ (3) \quad x + y + z = 0 \\ (4) \quad x + 2z = -4 \end{cases}$$ Restamos la ecuación (2) de la (3): $$(x + y + z) - (x + y) = 0 - 2 \implies \mathbf{z = -2}$$ Sustituimos $z = -2$ en la ecuación (1): $$4x + (-2) = -2 \implies 4x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$$ Sustituimos $x = 0$ en la ecuación (2): $$0 + y = 2 \implies \mathbf{y = 2}$$ Verificamos en la ecuación (4): $$0 + 2(-2) = -4 \implies -4 = -4 \quad \text{(Correcto)}$$ El punto de corte es $P(0, 2, -2)$. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(0, 2, -2)}$$