Ecuación de la recta con condiciones de paralelismo y perpendicularidad

**a) pasa por el punto $P(1, 1, 1)$, b) es paralela al plano $\pi \equiv x + y - 2z - 3 = 0$, c) es perpendicular a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda, \\ y = 2 - \lambda, \\ z = 1 - 2\lambda, \end{cases}$** Para determinar la ecuación de una recta $s$, necesitamos un punto $P_s$ y un vector director $\vec{v_s}$. Del enunciado extraemos los siguientes datos: 1. El punto por el que pasa la recta es $P(1, 1, 1)$. 2. El plano $\pi$ tiene como vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 1, -2)$ (coeficientes de $x, y, z$). 3. La recta $r$, dada en paramétricas, tiene como vector director $\vec{v_r} = (1, -1, -2)$ (coeficientes del parámetro $\lambda$). 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano.

Buscamos el vector director $\vec{v_s} = (a, b, c)$ de la recta $s$. Aplicamos las condiciones dadas: 1. **Condición de paralelismo al plano:** Si $s \parallel \pi$, entonces $\vec{v_s} \perp \vec{n_\pi}$. Esto implica que su producto escalar es cero: $$\vec{v_s} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ 2. **Condición de perpendicularidad a la recta:** Si $s \perp r$, entonces sus vectores directores son perpendiculares: $$\vec{v_s} \cdot \vec{v_r} = 0$$ Como $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n_\pi}$ y a $\vec{v_r}$, podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos. $$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_r}$$

Calculamos el vector director $\vec{v_s}$ mediante el determinante: $$\vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\vec{v_s} = [1 \cdot (-2) \cdot \vec{i} + 1 \cdot (-2) \cdot \vec{j} + (-1) \cdot 1 \cdot \vec{k}] - [1 \cdot 1 \cdot \vec{k} + (-1) \cdot (-2) \cdot \vec{i} + 1 \cdot (-2) \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v_s} = (-2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}) - (\vec{k} + 2\vec{i} - 2\vec{j})$$ $$\vec{v_s} = -2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} - \vec{k} - 2\vec{i} + 2\vec{j}$$ $$\vec{v_s} = -4\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (-4, 0, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos tomar un vector proporcional más sencillo dividiendo por $-2$: $$\vec{v_s} = (2, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** En una recta, cualquier vector proporcional al obtenido sirve como vector director.

Ya tenemos el punto $P(1, 1, 1)$ y el vector director $\vec{v_s} = (2, 0, 1)$. Podemos expresar la recta en varias formas. La forma continua es: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Como la componente $y$ del vector es $0$, debemos expresarla separadamente: $$s \equiv \begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{z - 1}{1} \\ y = 1 \end{cases}$$ O en su forma paramétrica (más habitual cuando hay ceros en el vector): $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 \\ z = 1 + \lambda \end{cases}}$$