Inversa y potencias de una matriz

**6.- (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad.** El enunciado nos obliga a usar la identidad $A^3 = -I$ para hallar la inversa. Por definición, una matriz $B$ es la inversa de $A$ si $A \cdot B = I$. Partimos de la identidad dada: $$A^3 = -I$$ Podemos expresar $A^3$ como el producto de $A$ por $A^2$: $$A \cdot A^2 = -I$$ Para que en el miembro de la derecha aparezca la matriz identidad $I$, multiplicamos toda la ecuación por $-1$: $$A \cdot (-A^2) = I$$ Comparando con la definición $A \cdot A^{-1} = I$, deducimos que: $$\boxed{A^{-1} = -A^2}$$ 💡 **Tip:** Cuando una matriz satisface una ecuación polinómica, siempre podemos despejar $I$ para encontrar la expresión de la inversa sin necesidad de usar el método de Gauss-Jordan o el de los adjuntos.

Para obtener tanto $A^{-1}$ como $A^{20}$, necesitamos calcular primero la matriz $A^2$ mediante el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - Fila 1: - $c_{11} = 0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{12} = 0(3) + 3(-4) + 4(3) = 0 - 12 + 12 = 0$ - $c_{13} = 0(4) + 3(-5) + 4(4) = 0 - 15 + 16 = 1$ - Fila 2: - $c_{21} = 1(0) + (-4)(1) + (-5)(-1) = 0 - 4 + 5 = 1$ - $c_{22} = 1(3) + (-4)(-4) + (-5)(3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $c_{23} = 1(4) + (-4)(-5) + (-5)(4) = 4 + 20 - 20 = 4$ - Fila 3: - $c_{31} = (-1)(0) + 3(1) + 4(-1) = 0 + 3 - 4 = -1$ - $c_{32} = (-1)(3) + 3(-4) + 4(3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $c_{33} = (-1)(4) + 3(-5) + 4(4) = -4 - 15 + 16 = -3$ Resultado de $A^2$: $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Utilizando la fórmula deducida en el primer paso ($A^{-1} = -A^2$): $$A^{-1} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Cambiamos el signo a todos los elementos de la matriz: ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

Para calcular potencias elevadas, utilizamos la relación conocida $A^3 = -I$. Dividimos el exponente $20$ entre el exponente de nuestra identidad ($3$): $$20 = 3 \cdot 6 + 2$$ Por las propiedades de las potencias: $$A^{20} = A^{3 \cdot 6 + 2} = (A^3)^6 \cdot A^2$$ Sustituimos $A^3$ por $-I$: $$A^{20} = (-I)^6 \cdot A^2$$ Como el exponente $6$ es par, $(-1)^6 = 1$. Además, cualquier potencia de la identidad es la propia identidad ($I^6 = I$): $$A^{20} = I \cdot A^2 = A^2$$ Ya habíamos calculado $A^2$ en el paso 2, por lo que: ✅ **Resultado (potencia $A^{20}$):** $$\boxed{A^{20} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices, siempre busca un ciclo o una relación con la matriz identidad $I$ para simplificar el cálculo.