Cálculo de matrices a partir de suma y producto notable

**5.- (2 puntos) Hallar las matrices $A - B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$, satisfacen las siguientes identidades.** Primero, observamos la expresión $A^2 - AB + BA - B^2$. En el álgebra de matrices, el producto no es necesariamente conmutativo ($AB \neq BA$). Si expandimos el producto $(A+B)(A-B)$ obtenemos: $$(A+B)(A-B) = A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = A^2 - AB + BA - B^2$$ Esto coincide exactamente con la segunda identidad proporcionada. Llamemos $C$ a la suma y $D$ al resultado del producto notable: $$C = A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ De esta forma, la ecuación matricial es $C \cdot (A-B) = D$. Para despejar $(A-B)$, necesitamos calcular la inversa de $C$. 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no puedes simplemente "dividir". Para despejar $X$ en $CX=D$, debes multiplicar por la izquierda por la inversa: $X = C^{-1}D$.

Para hallar $C^{-1}$, primero calculamos su determinante $|C|$: $$|C| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$|C| = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 - (-1)) = -1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos su matriz adjunta $Adj(C)$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$ $$Cof(C) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \implies Adj(C) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, $C^{-1} = \frac{1}{|C|} Adj(C)$: $$\boxed{C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos $(A-B) = C^{-1} \cdot D$: $$A-B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot -2 + 0 \cdot -2 + 1 \cdot 0, \; 1 \cdot 0 + 0 \cdot -1 + 1 \cdot 0, \; 1 \cdot -2 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0) = (-2, 0, -2)$ - Fila 2: $(0 \cdot -2 + -1 \cdot -2 + 0 \cdot 0, \; 0 \cdot 0 + -1 \cdot -1 + 0 \cdot 0, \; 0 \cdot -2 + -1 \cdot 0 + 0 \cdot 0) = (2, 1, 0)$ - Fila 3: $(-1 \cdot -2 + 0 \cdot -2 + 0 \cdot 0, \; -1 \cdot 0 + 0 \cdot -1 + 0 \cdot 0, \; -1 \cdot -2 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0) = (2, 0, 2)$ $$\boxed{A-B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Disponemos ahora de un sistema de ecuaciones matriciales: 1) $A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 2) $A - B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ **Para hallar $A$**, sumamos ambas ecuaciones $(A+B) + (A-B) = 2A$: $$2A = \begin{pmatrix} 0-2 & 0+0 & -1-2 \\ 0+2 & -1+1 & 0+0 \\ 1+2 & 0+0 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \implies A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3/2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3/2 \end{pmatrix}$$ **Para hallar $B$**, restamos ambas ecuaciones $(A+B) - (A-B) = 2B$: $$2B = \begin{pmatrix} 0-(-2) & 0-0 & -1-(-2) \\ 0-2 & -1-1 & 0-0 \\ 1-2 & 0-0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3/2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3/2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}}$$