Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

Para discutir el sistema, empezamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & a & a^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 2 \\ 2 & a & a^2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n=3$ ($x, y, z$). 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius nos dice que: - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & a & a^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot a^2 \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot 2) - (a \cdot a^2 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = a^2 + 2a^2 + 2 - 2a - a^3 - 2 = -a^3 + 3a^2 - 2a$$ Igualamos a cero para hallar las raíces: $$-a(a^2 - 3a + 2) = 0$$ Las soluciones son $a=0$ y, resolviendo la ecuación de segundo grado $a^2-3a+2=0$: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \implies a=1, a=2$$ Los valores críticos son **$a=0, a=1, a=2$**.

Si $a \neq 0, 1, 2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Posee una solución única. Para resolverlo, observamos las ecuaciones 1 y 3: $$\begin{cases} ax + y + z = 2 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ Restando ambas ecuaciones: $(a-2)x = 0$. Como $a \neq 2$, necesariamente **$x = 0$**. Sustituyendo $x=0$ en el sistema: $$\begin{cases} y + z = 2 \implies y = 2 - z \\ ay + a^2z = 1 \end{cases}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$a(2-z) + a^2z = 1 \implies 2a - az + a^2z = 1 \implies z(a^2 - a) = 1 - 2a$$ $$z = \frac{1-2a}{a(a-1)}$$ Calculamos $y$: $$y = 2 - \frac{1-2a}{a(a-1)} = \frac{2a^2 - 2a - 1 + 2a}{a(a-1)} = \frac{2a^2 - 1}{a(a-1)}$$ ✅ **Resultado para $a \neq 0, 1, 2$:** $$\boxed{x=0, \quad y=\frac{2a^2-1}{a(a-1)}, \quad z=\frac{1-2a}{a(a-1)}}$$

Si $a=0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el determinante de un menor de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Como la fila 1 y la fila 3 son iguales, el determinante es 0. Probamos con otro menor: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 + 2 + 4) - (0 + 0 + 4) = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado para $a=0$:** $$\boxed{\text{No tiene solución}}$$

Si $a=1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente ($1 \neq 2$). Esto indica una contradicción. Formalmente: $|A|=0$. Un menor de orden 2 de $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Calculamos un menor de orden 3 de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \text{ (F1=F3)}$$ Probamos otro: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 2 + 4) - (4 + 1 + 4) = 8 - 9 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado para $a=1$:** $$\boxed{\text{No tiene solución}}$$

Si $a=2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ La fila 1 y la fila 3 son idénticas, por lo que podemos eliminar una. $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Resolvemos usando $z = \lambda$: $$\begin{cases} 2x + y = 2 - \lambda \\ 2x + 2y = 1 - 4\lambda \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $$y = (1 - 4\lambda) - (2 - \lambda) = -1 - 3\lambda$$ Sustituyendo $y$ en la primera: $$2x + (-1 - 3\lambda) = 2 - \lambda \implies 2x = 3 + 2\lambda \implies x = \frac{3}{2} + \lambda$$ ✅ **Resultado para $a=2$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{3}{2} + \lambda, -1 - 3\lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$